我們坐在3維的屋子里，在2維的桌面上學(xué)習(xí)、辦公，沿著1維的尺子丈量物體，用0維的筆尖書(shū)寫(xiě)——“維度”看起來(lái)如此尋常易懂。然而，數(shù)學(xué)家們卻并不這么認(rèn)為。一代代的數(shù)學(xué)家在問(wèn)題與矛盾中不斷地思索、辯證，希望能夠給出確切的答案：維度到底是什么？點(diǎn)、線、面、體之間，有什么樣的聯(lián)系和本質(zhì)的區(qū)別？

　　撰文 | 戴維·S。里奇森（David S。 Richeson）

　　翻譯 | 李詩(shī)源

　　審校 | 王昱

　　乍一看，“維度”（dimension）的概念似乎很直觀。古人便已知道我們生活在3維空間中。亞里士多德曾在著作里表示：“可以在1個(gè)方向上表征大小的（形狀）是一條線，2個(gè)方向的是一個(gè)平面，而3個(gè)方向的則是一個(gè)體。除此之外，沒(méi)有別的可以表征大小的情形存在，因?yàn)橹淮嬖谏鲜龅倪@些維度?！?/p>

　　但是，隨后我們就會(huì)意識(shí)到，給“維度”這個(gè)概念下一個(gè)詳盡的定義并推廣到一般情形，是極為困難的。數(shù)百年來(lái)，人們進(jìn)行了大量的思想實(shí)驗(yàn)，通過(guò)想象來(lái)進(jìn)行類(lèi)比，才讓我們?nèi)缃衲軐?duì)這一概念有較為嚴(yán)格的解釋。

　　不過(guò)，數(shù)學(xué)家等群體一直很享受構(gòu)想更多維度，做一些腦力鍛煉。如果第4個(gè)維度以某種方式與我們的3維空間垂直，那會(huì)是什么樣的？

　　腦力游戲

　　一種很常用的方法是，假設(shè)我們的可知宇宙是3維空間中的一個(gè)2維平面。在這個(gè)平面上方，飄浮著一個(gè)我們看不見(jiàn)的實(shí)心球體。但如果這個(gè)球體掉落并接觸到平面，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)。隨著球體繼續(xù)穿過(guò)平面，交界處會(huì)產(chǎn)生一個(gè)圓盤(pán)，并且逐漸增大，直到達(dá)到最大大小。隨后，圓盤(pán)逐漸縮小，最終徹底消失。我們正是通過(guò)這些截面，看到了3維的圖形。

　　以此類(lèi)推，如果一個(gè)4維球體穿過(guò)我們所熟悉的3維宇宙，那么首先會(huì)出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)，然后這個(gè)點(diǎn)變成一個(gè)先增大后縮小的球體，直至消失。這讓我們對(duì)4維的圖形有了一點(diǎn)概念，但還有其他方法可以想象這些圖形。

　　比方說(shuō)，讓我們?cè)囍?維空間中構(gòu)建一個(gè)立方體的等價(jià)物體，即超立方體（tesseract）。如果一開(kāi)始有一個(gè)點(diǎn)，我們可以把這個(gè)點(diǎn)沿著一個(gè)方向進(jìn)行“掃描”，這樣就得到了一條線段；將這條線段沿著與之垂直的方向“掃描”，可以得到一個(gè)正方形；以此類(lèi)推，我們可以得到一個(gè)3維的立方體和一個(gè)4維的超立方體。

　　綜合以上的內(nèi)容，我們可以直觀地認(rèn)為，如果一個(gè)抽象空間內(nèi)有n個(gè)自由度，或者是空間中一個(gè)點(diǎn)的位置需要n個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述，那么這個(gè)空間就是n維的。不過(guò)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)維度的概念比這些簡(jiǎn)化的描述更為復(fù)雜。

　　看似簡(jiǎn)單，實(shí)則復(fù)雜

　　對(duì)高維空間的正式研究始于19世紀(jì)。在幾十年內(nèi)，這一領(lǐng)域就變得極為復(fù)雜。1911年的一部著作，著錄了1832篇與n維空間的幾何學(xué)有關(guān)的參考文獻(xiàn)。在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，公眾變得對(duì)“第4維”極為癡狂。1884年，埃德溫·阿博特（Edwin Abbott）撰寫(xiě)了諷刺小說(shuō)《平面國(guó)》（Flatland），日后大受歡迎。書(shū)中描繪了2維生命遇見(jiàn)來(lái)自第3維度的生命的場(chǎng)景，用這一類(lèi)比來(lái)幫助讀者們理解第4個(gè)維度。1909年，《科學(xué)美國(guó)人》（Scientific American）雜志舉辦了“什么是第4維？”主題征文比賽，獎(jiǎng)金為500美元，共收到245份參賽作品。而巴勃羅·畢加索（Pablo Picasso）、馬塞爾·杜尚（Marcel Duchamp）等許多藝術(shù)家，都曾在作品中融入“第4維”的概念。

　　但是在這一時(shí)期，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，缺少對(duì)維度的正式定義確實(shí)是一個(gè)問(wèn)題。

　　格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）最著名的發(fā)現(xiàn)是不同無(wú)限集合的大小是不一樣的，或者說(shuō)有不一樣的勢(shì)（cardinality）。起初，康托爾認(rèn)為一條線段、一個(gè)正方形和一個(gè)立方體中的點(diǎn)集必然有不同的勢(shì)，就像包含10個(gè)點(diǎn)的線段、10×10的網(wǎng)格點(diǎn)陣和10×10×10的立方體點(diǎn)陣包含的點(diǎn)數(shù)量不同一樣。然而，1877年，他發(fā)現(xiàn)線段和正方形中的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（對(duì)所有維度的立方體也可以依此類(lèi)推），表明它們有相同的勢(shì)。于是他證明了一個(gè)直觀的結(jié)論：盡管線、正方形和立方體的維度不同，但它們由同樣數(shù)量的極小的點(diǎn)構(gòu)成。

　　康托爾意識(shí)到，這一發(fā)現(xiàn)對(duì)“n維空間需要n個(gè)坐標(biāo)來(lái)描述”這一直觀的想法產(chǎn)生了沖擊。這是因?yàn)閚維立方體中的每一個(gè)點(diǎn)都可以唯一地被一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)所標(biāo)識(shí)，因而在某種意義上，這些高維的立方體與1維的線段是等價(jià)的。然而里夏德·狄德金（Richard Dedekind）指出，康托爾所構(gòu)造的函數(shù)是高度不連續(xù)的，它實(shí)際上是把一條線段拆分為無(wú)窮多個(gè)部分，然后重新拼裝成一個(gè)立方體。但是，坐標(biāo)系的構(gòu)建不應(yīng)當(dāng)包含這種行為；這種方式過(guò)于混亂，就像給紐約曼哈頓的所有建筑一個(gè)唯一的地址，但這些地址和每一棟建筑之間的匹配卻是隨機(jī)的。

　　1890年，朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）發(fā)現(xiàn)，1維曲線可以被緊湊且連續(xù)地“折疊”起來(lái)，并填滿2維正方形內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)。不過(guò)，他構(gòu)造的曲線會(huì)與自身相交無(wú)窮多次。如果再用曼哈頓作類(lèi)比的話，這就像有一部分建筑有多個(gè)地址。

　　戴維·希爾伯特（David Hilbert）構(gòu)想的空間填充曲線。構(gòu)建它需要循環(huán)進(jìn)行5個(gè)步驟，在每一步中曲線的面積都是0，但在極限情況下，曲線便能填滿正方形。

　　這些例子表明，數(shù)學(xué)家們需要證明“維度”是一種真實(shí)存在的概念；例如，當(dāng)n≠m時(shí)，n維和m維歐氏空間之間存在著某些根本的差異。這一目標(biāo)后來(lái)演變成對(duì)“維度不變性”（invariance of dimension）問(wèn)題的研究。

　　從高維空間到海岸線

　　在康托爾的發(fā)現(xiàn)之后將近半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，許多數(shù)學(xué)家都嘗試證明維度不變性，但都鎩羽而歸。最終，在1912年時(shí)，盧伊茲·布勞威爾（L.E.J。 Brouwer）應(yīng)用自己發(fā)明的新方法，終于獲得了成功。本質(zhì)上說(shuō)，他證明了不可能在既不將物體分割成許多部分（如康托爾的方法），又不讓物體與自身相交（如皮亞諾的方法）的情況下，將一個(gè)高維物體放到一個(gè)維度較低的物體內(nèi)，或是用一個(gè)低維物體完全填充一個(gè)維度較高的物體。同一時(shí)期，布勞威爾和其他數(shù)學(xué)家還給出了多項(xiàng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。例如，其中一項(xiàng)定義以“n維空間中的球體的邊界是n-1維的”為基礎(chǔ)，用歸納法規(guī)定了不同的幾何圖形的“維度”。

　　盡管布勞威爾的工作給“維度”的概念奠定了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但它們并不能幫助人們直觀地理解高維空間，因?yàn)槲覀儗?duì)3維空間過(guò)于熟悉，往往會(huì)被誤導(dǎo)。

　　例如，假設(shè)我們要把2^n個(gè)半徑為1的球體放到一個(gè)邊長(zhǎng)為4的n維立方體里，然后在中心再放一個(gè)球，使之與其他球體全都相切。中心球體的半徑為n1/2-1，隨著n的增大而增大。于是，這會(huì)導(dǎo)致一個(gè)非常令人震驚的結(jié)果：當(dāng)n≥10時(shí)，這個(gè)球體就會(huì)超出立方體的邊。

　　對(duì)維度的探索并未止于布勞威爾的發(fā)現(xiàn)。短短幾年后，費(fèi)利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了維度的一種定義。幾十年后，人們意識(shí)到這一定義對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是必需的。有一種方法可以幫助我們直觀地理解其定義：如果把一個(gè)d維的物體均勻地放大為原來(lái)的k倍，那么這個(gè)物體的大小就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的kd倍。例如，如果我們把一條線段、一個(gè)正方形和一個(gè)立方體放大為原來(lái)的3倍，那么點(diǎn)的大小不會(huì)改變（30=1），而線段長(zhǎng)度、正方形的大小和立方體的大小分別變?yōu)樵瓉?lái)的3、9和27倍。

　　根據(jù)豪斯多夫的定義，我們會(huì)得到一個(gè)意外的結(jié)果：物體的維度可以不是整數(shù)。幾十年后，這恰恰為貝努瓦·B。曼德?tīng)柌剂_（Benoit B。 Mandelbrot）的問(wèn)題給出了答案。當(dāng)時(shí)，曼德?tīng)柌剂_正思考大不列顛島的海岸線有多長(zhǎng)。海岸線可能會(huì)相當(dāng)參差不齊，無(wú)法用尺子精確地測(cè)量其長(zhǎng)度——尺子越短，測(cè)量越精確，但同時(shí)測(cè)量的工程也會(huì)越浩大。曼德?tīng)柌剂_認(rèn)為，豪斯多夫的維度定義提供了一種量化海岸線“粗糙度”（jaggedness）的方法。1975年，他造出了“分形”（fractal）這個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)描述這類(lèi)復(fù)雜的無(wú)窮圖形。

　　我們可以以科赫曲線（Koch curve）為例，來(lái)理解非整數(shù)維度可能是什么樣的?？坪涨€是用迭代的方法生成的。起初我們有一條線段；每一步，我們要把每條線段的中間1/3去掉，用2條和去掉的線段長(zhǎng)度相同的線段來(lái)代替。重復(fù)這一過(guò)程無(wú)窮多次，就得到了科赫曲線。如果將曲線放大，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它包含4個(gè)部分，每個(gè)部分都和整條曲線（形狀）相同，但大小只有后者的1/3。所以，如果把曲線放大為原來(lái)的3倍，我們就得到了4條和原曲線相同的曲線。因而這條曲線的豪斯多夫維度d滿足3d=4，所以d=log34≈1.26。這條曲線不能像皮亞諾的曲線那樣填滿整個(gè)空間，所以它不算是2維的，但又比一條單純的1維的線要復(fù)雜。

　　3維之外

　　可能有的讀者會(huì)疑惑：“難道第4維不是時(shí)間嗎？”1895年，赫伯特·韋爾斯（H.G。 Wells）發(fā)表了小說(shuō)《時(shí)間機(jī)器》（The Time Machine）。正如小說(shuō)中的發(fā)明家所說(shuō)，“除了我們的意識(shí)沿著時(shí)間流動(dòng)以外，時(shí)間和3維空間的任一個(gè)維度并無(wú)區(qū)別。”1919年發(fā)生的一場(chǎng)日食，使科學(xué)家們得以確認(rèn)愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論，也印證了赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）的預(yù)測(cè)：“從此以后，獨(dú)立的空間和獨(dú)立的時(shí)間注定將不復(fù)存在，只有某種將二者結(jié)合的形式可以將獨(dú)立的現(xiàn)實(shí)保存下來(lái)?！?/p>

　　如今，數(shù)學(xué)家和其他領(lǐng)域的研究者，常常進(jìn)行我們熟悉的3維空間以外的研究。有時(shí)這些研究會(huì)涉及額外的物理維度（如弦論就需要這些維度），但更多的時(shí)候，我們會(huì)進(jìn)行抽象的工作，不會(huì)構(gòu)想真實(shí)的空間。幾何學(xué)的研究可能涉及高維空間，而物理、生物、工程、金融和圖像處理等領(lǐng)域有時(shí)會(huì)研究分形，需要用到非整數(shù)維度。

　　幸運(yùn)的是，要想享受維度的樂(lè)趣，并不需要對(duì)它有充分的理解——這一點(diǎn)，鳥(niǎo)兒和數(shù)學(xué)家們都一樣。

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