數(shù)學(xué)是一種語言，方程式是它的基本表達(dá)方式。我們都知道，宇宙的運(yùn)行遵循某些規(guī)律。我們稱之為科學(xué)，并用數(shù)學(xué)語言描述這些規(guī)律。這些規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表述的話，就是方程式。世間萬物，無論是星系的形成，還是孩子鼻子上的雀斑圖案，都跟這些方程式有關(guān)。無論你喜歡與否，也無論你是個(gè)單憑感覺躍躍欲試的人，還是個(gè)在意秩序與細(xì)節(jié)的人，你生活的方方面面都由方程式主導(dǎo)著。方程式并不在乎你理解與否，依舊控制著你周圍的一切事務(wù)。所以，是時(shí)候跟數(shù)學(xué)的世界變得更熟悉了。“握手”這件事，也可以用方程式來解答。

你是國家領(lǐng)導(dǎo)人峰會(huì)的官方攝影師， 也是捕捉拍攝對(duì)象最佳狀態(tài)的專家。主辦方要求你盡量多拍一些握手的照片。但這里有個(gè)問題，最后兩位國家元首還有一個(gè)小時(shí)才能到場(chǎng)。這是一對(duì)自視甚高、嘩眾取寵的小丑。他們的發(fā)型讓人摸不著頭腦．政治立場(chǎng)更是可疑。其他100位國家元首中，沒有一個(gè)愿意與他們握手。你知道一旦他們到達(dá)，所有元首都會(huì)停止握手。在這之前，你有時(shí)間拍下每一對(duì)可能握手的領(lǐng)導(dǎo)人照片嗎?

握手問題在數(shù)學(xué)中是一個(gè)有著廣泛研究的領(lǐng)域，其中十分出名的是各種各樣又有趣的解決握手問題的方法。為了應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)，知道總共要拍多少張照片會(huì)十分有用。我們觀察下面這幾組人，看看他們需要握多少次手。

安娜問候鮑勃，那么目前只握了一次手。

卡拉來了。她需要與安娜和鮑勃握手，所以握手的次數(shù)增加了2 次。

迭戈來了。他需要與安娜、鮑勃和卡拉握手，所以握手的次數(shù)增加了 3 次。

當(dāng)伊迪絲來的時(shí)候，她需要握 4 次手。依此類推。舉個(gè)例，當(dāng)?shù)?25 個(gè)人來的時(shí)候，他需要和已在那里的 24 個(gè)人握手。第 n 個(gè)人必須與第 n - 1 個(gè)已到場(chǎng)的人握手。所以，要計(jì)算 100 個(gè)人需要握多少次手，你需要算出 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99。

在這里，你可以簡(jiǎn)單地花點(diǎn)時(shí)間用計(jì)算器，但是連續(xù)整數(shù)相加又是另一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題。解決這個(gè)問題的一種方法是用一些由點(diǎn)構(gòu)成的三角形。如果你有五個(gè)人，你需要握 1 + 2 + 3 + 4 次手，你可以用一個(gè)三角形的點(diǎn)陣來表示：

你想要得到三角形內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量的公式。

矩形中的點(diǎn)的數(shù)量比較容易計(jì)算，所以，如果你再加上一個(gè)由相同數(shù)量的點(diǎn)組成的三角形，你就得到了一個(gè)寬 4 點(diǎn)高 5 點(diǎn)的矩形。

矩形中有 4 × 5 = 20 個(gè) 點(diǎn)， 這意味著每個(gè)三角形中必須有20 ÷ 2 = 10 個(gè)點(diǎn)。歸納一下，你可以看到如果三角形有 r 列，由兩個(gè)這樣的三角形組成的矩形就會(huì)有 r + 1 行。這意味著矩形中有 r ×（r + 1）個(gè)點(diǎn)。為了算出原來三角形的點(diǎn)的數(shù)量，你必須把這個(gè)減半，得出公式：

數(shù)學(xué)家十分熟悉該公式，也很了解其中的故事。在 18 世紀(jì)晚期，德國數(shù)學(xué)奇才卡爾·高斯（Carl Gauss）還是一名小學(xué)生時(shí)，他的老師給他布置了一個(gè)任務(wù)：把 1 到 100 的所有數(shù)字相加。傳說高斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)捷徑，并當(dāng)場(chǎng)解決了這個(gè)問題，這讓他懶惰的老師既氣惱又尷尬。高斯后來成了最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

對(duì)于 n 個(gè)人握手，你需要握 r = n–1 輪，因?yàn)槟阋刮帐值妮啍?shù)比總?cè)藬?shù)少 1。將公式中的 r 替換為 n–1，得到：

結(jié)果等于 4,950 次握手。拍這些照片，每張照片預(yù)計(jì)只需10 秒，但總共要花 49,500 秒，也就是 13 小時(shí) 45 分鐘。所以沒有辦法在一小時(shí)內(nèi)拍完所有的照片。但是會(huì)議中心請(qǐng)你來，并不想聽你表示無能為力。讓我們來看看你能做些什么。

刷新世界紀(jì)錄的總統(tǒng)

在 1907 年的元旦，美國總統(tǒng)西奧多·羅斯福在白宮舉行了一個(gè)開放日，公眾可以來和他們的領(lǐng)導(dǎo)人見面。到白宮大門關(guān)閉之時(shí)，羅斯福已經(jīng)和 8,513 個(gè)人握手了。這創(chuàng)下了單日握手次數(shù)最多的世界紀(jì)錄，這一紀(jì)錄保持了近 60 年。最長(zhǎng)的握手紀(jì)錄是兩對(duì)被稱為“握手族”的人士 2011 年創(chuàng)下的，他們?cè)?33 小時(shí) 3 分鐘之后才停止握手。

假設(shè)一開始你為各國元首第一輪握手都拍了一張照片。100 個(gè)人的話，就是 50 次握手，這將花費(fèi) 500 秒的時(shí)間來拍攝。那么讓我們看看你能在剩下的時(shí)間里給多少人拍完整的照片。拍照的時(shí)間是握手次數(shù)乘以 10 秒，所以：

你有 1 小時(shí)，也就是 60 × 60 = 3,600 秒。我們已經(jīng)用了 500 秒，確保每個(gè)人都有至少一張照片，還剩下 3,100 秒。你需要求解的方程是： 3,100 = 5 （n–1）n

首先，方程兩邊同除以 5：

620 =（n–1）n

然后展開括號(hào)：

這種方程稱為二次方程，因?yàn)槲粗獢?shù) n 是平方的形式。這種方程不像線性方程那么容易解，但如果你把方程變成一邊等于零的形式，你可以使用二次方程求根公式（見緒言）。為了讓我們的方程變成一邊等于零，則方程兩邊同時(shí)減去 620：

得數(shù)應(yīng)為正數(shù)且保留至小數(shù)點(diǎn)后一位，得出 n = 25.4。這意味著你可以拍下 25 個(gè)人握手的照片，需要 5 × 24 × 25 = 3,000 秒。這還給我們預(yù)留了 100 秒的時(shí)間，你可以用這點(diǎn)時(shí)間再拍 10 張照片，或者擦擦你額頭上的汗。

你可以用圖來表示所有國家元首握手的情況。如果你把 100 位國家元首當(dāng)作一個(gè)圓周上的點(diǎn)，用點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線來代表握手，你會(huì)得到一個(gè)復(fù)雜的圖。此圖名為“神秘玫瑰”，也許是因?yàn)樗雌饋碛悬c(diǎn)像老教堂里那種圓形玫瑰彩色玻璃窗。真正讓人感到不可思議的是，雖然事實(shí)上，這個(gè)圖完全是由直線構(gòu)成，但它看上去似乎有同心圓和曲線。下圖是 25 人之間握手的玫瑰圖，由愛德華·普拉特（Edward L. Platt）在其個(gè)人網(wǎng)站的神秘玫瑰生成器制作。

神秘玫瑰對(duì)你的問題并沒有什么幫助，但它看起來確實(shí)很棒。

主辦方對(duì)你的解決方案很滿意。當(dāng)一架引人注目的大型直升機(jī)和一隊(duì)豪華轎車停在會(huì)場(chǎng)外的時(shí)候，你的任務(wù)也剛好完成。

延伸閱讀：《方程式之美：隱藏在萬事萬物背后的數(shù)學(xué)公式》