這里我們介紹一種基于分部積分法的處理方法，不僅能獲得連續(xù)自然數(shù)冪次的一般求和公式，還能附帶證明一個有趣的猜想。說不定讀完本文后，聰明的你也會靈感迸發(fā)，開辟一個與眾不同的新解法。

撰文 | 朱慧堅（玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授）、丁玖（美國南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

讀者朋友看到本文標(biāo)題，或許會不以為意地發(fā)笑一聲：這還不簡單，不就是

對，您說的大致不錯，如果再去查一查微積分教科書，或許還可以繼續(xù)看到公式

等等，等等。但是，如果有人請教您1^100+2^100+?+n^100等于什么，您能馬上告訴他相應(yīng)的公式，或指導(dǎo)他如何下手嗎？更進(jìn)一步地，在仔細(xì)察看了上面的六個代數(shù)恒等式后，您可能會突然發(fā)現(xiàn)，平方和表達(dá)式n(n+1)(2n+1)/6恰好是四次方和表達(dá)式的一個因子，立方和[n(n+1)]^2/4恰好是五次方和的一個因子。這時，您肯定在納悶這僅僅是巧合，還是說對六次和七次冪，甚至更高次冪的求和公式也都是如此。好吧，我們再瞧一瞧接下來的三個公式：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)同樣的模式依然存在。這似乎是個有意義的觀察，勾起我們的好奇心：對一般的正奇數(shù)k>1或正偶數(shù)k，從1到n的連續(xù)自然數(shù)k次冪之和的表達(dá)式是否分別具有上面所說的因子？

在全世界流傳百年之久的傳奇故事是這樣說的：高斯年幼時，他的老師為了整治班內(nèi)淘氣學(xué)童，要求學(xué)生計算1+2+?+99+100。聰明的小高斯將其反方向?qū)懗?00+99+?+2+1，再與原式上下對齊，縱向相加，加出了100個同一個數(shù)，該數(shù)乘以100再除以2，便在片刻之間算出答案

這個數(shù)學(xué)傳奇激勵著天下俊杰對各種形式的自然數(shù)群體相加、相乘尋覓規(guī)律，破解謎團(tuán)。作為一個佳例，從古到今不知有多少人熱衷于發(fā)明新的方法，回答本文標(biāo)題所提的數(shù)學(xué)問題。為了建立一個既封閉又悅眼的求和公式，所涉及到的數(shù)學(xué)工具實在是五彩繽紛，思路和技巧各種各樣，又“條條大道通羅馬”，顯示出不同數(shù)學(xué)分支之間的密切相關(guān)性。在這些手段中，有的是基于組合數(shù)學(xué)的生成函數(shù)概念，有的是運(yùn)用線性差分方程的理論，也有的甚至借用了初等微分學(xué)里的洛必達(dá)法則。幾何中最有名的勾股定理據(jù)說已有約五百種證明，但我們還不清楚現(xiàn)在有多少種辦法能夠?qū)С鲎匀粩?shù)同冪次求和的表達(dá)式。說不定讀完本文后，有個聰明而好奇心極強(qiáng)的讀者會滋生靈感，磨礪出一把新斧頭，開辟一個與眾不同的解法。這里，我們介紹一種基于分部積分法的處理方法，它歷史悠久，不僅能獲得連續(xù)自然數(shù)冪次的一般求和公式，而且還能證明上述關(guān)于和式因子結(jié)構(gòu)的猜想為真。它來自于數(shù)值積分中一個著名求和公式對單項式函數(shù)的巧妙應(yīng)用，曾被作者用于證明同事提出過的上述猜想，那時作者正為大學(xué)高年級學(xué)生和研究生開設(shè)一門數(shù)值分析課程，恰好在課堂上講授到那個積分近似公式。

歐拉-麥克勞林求和公式

初等微積分里有關(guān)于不定積分和定積分的分部積分法，對于定積分，它指的是如下的等式：

學(xué)過初等微積分的讀者都知道，不定積分的分部積分法就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積法則

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

通過移項寫成等價形式u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x)后，用不定積分的數(shù)學(xué)語言

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx

而重新表述的。這和將陳述句“老布什總統(tǒng)是小布什總統(tǒng)的父親”等價地寫成“小布什總統(tǒng)是老布什總統(tǒng)的兒子”是同一個道理。至于定積分的分部積分法（1），它就是將上述不定積分的分部積分法同微積分的最重要定理——微積分學(xué)基本定理

F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，即在區(qū)間[a, b]上恒有F'(x)=f(x)相結(jié)合后的自然產(chǎn)物。

在定積分的計算中，如果被積函數(shù)可以寫成乘積u(x)v'(x)的形式，并且上面（1）式右端的定積分值相較左端可以更容易地計算出來，那么此時的分部積分法算是用對了，這是定積分計算技巧中的通常思路。比如，要計算出定積分

如果令u(x)=x及v'(x)=sinx，則u'(x)=1，并且sinx的一個原函數(shù)是v(x)=-cosx。然后，（1）式給出

這就與計算初衷南轅北轍，因為等式右邊定積分中的被積函數(shù)看上去更加復(fù)雜，無法直接知道它的原函數(shù)是什么。這充分說明，在運(yùn)用分部積分法之前，一定要聰明地選對公式（1）左端中的這兩個因子函數(shù)u(x)和v'(x)。為了本文要講述的主題，我們先請讀者注意，在（1）式中，v(x)只需是v'(x)的一個原函數(shù)，因為根據(jù)微分學(xué)基本定理（即教科書里通常所稱的拉格朗日中值定理），同一個連續(xù)函數(shù)的所有原函數(shù)之間只相差某個常數(shù)，因此該v(x)的選用有一個自由度，這給下面構(gòu)造“歐拉-麥克勞林求和公式”提供了極大的方便。

現(xiàn)在，我們就“聰明地”選擇分部積分法中的u(x)和v'(x)，并反復(fù)運(yùn)用（1）式，建立一種逼近定積分的數(shù)值積分方法——歐拉-麥克勞林求和公式。設(shè)想f(x)是一個光滑函數(shù)，意思是它直到某一個所需階數(shù)的所有導(dǎo)函數(shù)在定義域上都是逐點連續(xù)的，其定義域為閉區(qū)間[0,

因為被積函數(shù)多了一個二次多項式的因子。然而，如果我們略微耐心一點，很快就會發(fā)現(xiàn)事實上這是一個聰明之舉。

性急的讀者或許從上式右端第二項的結(jié)構(gòu)預(yù)測：它后面的積分可以繼續(xù)用分部積分法展

（3）是建立前n個自然數(shù)同冪次求和公式的一個理想工具。

歷史上，歐拉-麥克勞林求和公式于1732年由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）發(fā)現(xiàn)，但未及時發(fā)表。1736年他與蘇格蘭數(shù)學(xué)家斯特林（James Sterling，1692-1770）通信時得知蘇格蘭數(shù)學(xué)家麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）對此獲得更一般的結(jié)果后，放棄了自己的優(yōu)先權(quán)。兩人各自的公式分別發(fā)表于1738年和1742年。后人將此用途廣泛的等式以他們的名字命名。公式推導(dǎo)中引進(jìn)的這一族多項式p1(x),p2(x), …被標(biāo)準(zhǔn)化后，與比他們更早半個世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）發(fā)生了聯(lián)系，而與后者名字也分不開的一列數(shù)字則對本文的主題貢獻(xiàn)良多。

瑞士巴塞爾的伯努利家族聲名顯赫，學(xué)者云集，一門三代出了八位數(shù)學(xué)家。雅各布·伯努利是第一代中的“大哥”，他探索過的眾多數(shù)學(xué)對象包括無窮級數(shù)和一類后來冠以他姓的微分方程，概率論中的大數(shù)定律是他的一大杰作，而銀行家們最感興趣的連續(xù)復(fù)利問題由他解決，導(dǎo)致絕對常數(shù)e=2.7128?的出世（代表此數(shù)的通用字母e則來自于歐拉）。

雅各布·伯努利為自己設(shè)計的墓碑也蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)巧思，他希望在墓碑上刻一條數(shù)學(xué)意義豐富的對數(shù)螺線，根據(jù)雅各布本人的解釋，這根自相似螺線“可以象征逆境中的堅韌和恒心，也可以象征人體在經(jīng)歷所有變化甚至死后，也能恢復(fù)到精確完美的狀態(tài)?！笨上г谒ナ篮?，或許是雕刻墓碑的工匠誤解了指示，錯誤刻下了不相干的阿基米德螺線。

雅各布·伯努利的墓碑，螺線周圍的拉丁文Eadem mutata resurgo意為“縱使變化，依然故我”｜Wikipedia

雅各布的二弟約翰（Johann Bernoulli，1667-1748）微積分本領(lǐng)超越常人，常與大哥爭強(qiáng)好勝，如比賽求解“最速降線問題”，甚至也曾向牛頓叫板，結(jié)果是后者提速了變分學(xué)的發(fā)展。約翰不僅培養(yǎng)和提攜了少年歐拉，而且伯努利家族在他這一支涌現(xiàn)出的數(shù)學(xué)家最多。雅各布的大弟尼古拉斯是個畫家，其子尼古拉斯一世（Nicolaus I Bernoulli,1687-1759）在伯父的教導(dǎo)下成長為數(shù)學(xué)家，對微分方程等學(xué)科多有建樹。約翰的兒子丹尼爾（Daniel Bernoulli，1700-1782）對概率論有開創(chuàng)性研究，也是歐拉的同事和親密戰(zhàn)友。在伯努利家族中，上述幾位是我們在大學(xué)教科書中見過面的杰出代表。第三代中的數(shù)學(xué)家約翰三世（Johann III Bernoulli，1744-1807）則是個多才多藝的罕見神童。

伯努利多項式與伯努利數(shù)

顯見它們是正負(fù)交錯的。

現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)歸納法證明出伯努利多項式在標(biāo)準(zhǔn)的單項式基底下的一般表示形式。

引理1. n階伯努利多項式具有表達(dá)式

伯努利多項式還有一個在下一節(jié)里要用到的性質(zhì)，我們也將它寫成引理形式，并同引理1一樣通過數(shù)學(xué)歸納法證之。

引理2. 伯努利多項式滿足恒等式

計算1^k+2^k+?+n^k

我們現(xiàn)在回到歐拉-麥克勞林求和公式，希望將它用于單項式函數(shù)f(x)=xk，其中k為一自然數(shù)。先試驗一下k=4這個特殊情形，讓自己熱一熱身，然后考慮一般情形，獲取一個普適公式。由于f(x)=x^4的五階及以上導(dǎo)函數(shù)恒等于0，這時在歐拉-麥克勞林求和公式（3）中取m=3，得

等式（8）傳統(tǒng)上稱為福爾哈伯公式（Faulhaber's formula），雖然更合理的名稱應(yīng)該是伯努利公式。我們還是固守原先的伯努利數(shù)B1，對（8）式中的求和下標(biāo)s做變量替換t=k-s+1，以獲得另一個等價公式和某個定積分表達(dá)式。顯見，當(dāng)老下標(biāo)s從0遞增到k時，新下標(biāo)t從k+1遞減到1，因而（8）式轉(zhuǎn)變成

（7）-（10）中的任何一個式子都回答了本文標(biāo)題的提問，它給出了自然數(shù)從1到n的k次冪求和的一個顯式公式，這個表達(dá)式是n的k+1次多項式，其系數(shù)中的因子包含了伯努利數(shù)和組合數(shù)。

數(shù)學(xué)推導(dǎo)上我們休息片刻，輕松愉快地回顧一下這個公式出現(xiàn)之前的千年數(shù)學(xué)史。在兩千年前的古希臘，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，c. 572–c. 497 BC）、阿基米德等人就知道怎樣求出前n個自然數(shù)的和、平方和甚至立方和。在東方，一千五百年前的印度學(xué)者阿耶波多（Aryabhata，476–550）和一千年前的波斯數(shù)學(xué)家卡拉吉（Al-Karaji，c. 953–c. 1029）及伊斯蘭黃金時代的學(xué)者伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham，c. 965–c. 1040）等也考慮過這些和式。中國古代數(shù)學(xué)家對此也有卓越的貢獻(xiàn)，如南宋的楊輝（c.1238-c. 1298）和元代的朱世杰（1249-1314）等都深入研究過高階等差級數(shù)，這與求解自然數(shù)冪和有異曲同工之妙。六十年前人民教育出版社出版的華羅庚教授《從楊輝三角談起》這本小書，向中學(xué)生數(shù)學(xué)愛好者提供了對高階等差級數(shù)用差分概念求和的思想，讓少年時代的本文作者讀得興奮不已。

系統(tǒng)研究自然數(shù)冪次求和問題的首批人馬遲至十六、十七世紀(jì)才降生，他們包括英國的哈里奧特（Thomas Harriot，1560-1621）、德國的福爾哈伯（JohannFaulhaber，1580–1635）以及法國的費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601–1665）和帕斯卡（Blaise Pascal，1623–1662）。哈里奧特是第一個用符號寫出求和公式的人，然而他的公式止步于k=4。福爾哈伯不厭其煩地求得了直到k=17的公式，發(fā)表在他于1631年出版的著作Academia Algebrae中，不過他并沒有獲得一般的求和公式。盡管如此，后人依然有時將（8）式稱為福爾哈伯公式，以表彰他對此付出的辛勤勞動。

和式1^k+2^k+?+n^k中的因子

現(xiàn)在，我們似乎可以解答本文開頭的疑問了：為何當(dāng)k為3, 5, 7等奇數(shù)時，1^k+2^k+?+n^k有

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