出品：科普中國

作者：吳俊杰（中國科學技術大學）

監(jiān)制：中國科普博覽

在經(jīng)典物理的世界里，質(zhì)量被視為物質(zhì)永恒不變的屬性。然而，當科學家們深入量子領域，探索拓撲材料的奇妙特性時，卻發(fā)現(xiàn)了令人震驚的現(xiàn)象：在某些特殊條件下，質(zhì)量竟然可以“消失”！這看似違背常識的發(fā)現(xiàn)，正是當代凝聚態(tài)物理最前沿的研究成果之一。

質(zhì)量與速度：從牛頓到愛因斯坦

質(zhì)量是物理學中最基本的概念之一。自中學接觸牛頓運動定律起，我們便與質(zhì)量結下了不解之緣，仿佛“m”在考卷中無處不在，但鮮有要求去求解。在學到牛頓運動定律時，老師會告訴我們質(zhì)量是一個恒定不變的標量，與物體的速度無關；牛頓第二定律則告訴我們，外力和加速度成正比，而質(zhì)量正是這一關系中的比例常數(shù)。

然而，當我們學得愈加深入時，就會發(fā)現(xiàn)當物體的速度接近光速時，牛頓運動力學不再適用。這時另一位物理學巨匠——愛因斯坦老先生帶著他的物理定律閃亮登場：狹義相對論告訴我們，隨著速度的增加，物體的質(zhì)量不是不變，而是會隨之增大。這一現(xiàn)象可以通過相對論質(zhì)量公式描述：

其中m0是物體的靜止質(zhì)量，v是物體的速度，c是光速。顯然，當物體的運動速度接近光速時，分母趨近于零，這導致質(zhì)量趨向于無窮大，這一現(xiàn)象完美解釋了為什么沒有任何物體能夠達到或超過光速。

講到這里，筆者發(fā)問，質(zhì)量是否會完全消失呢？這里我們先賣個關子，稍后會給出答案。

拓撲材料與準粒子的奧秘

近期，在《物理評論X》（Physical Review X）中發(fā)表的一篇文章深入探討了拓撲材料中半狄拉克費米子的實驗發(fā)現(xiàn)。

拓撲金屬中的半狄拉克費米子

（圖片來源：《Physical Review X》）

對于任何一個新的概念，我們首先嘗試從這個概念的名詞出發(fā)來進行聯(lián)想，因為這些名詞往往蘊含了其核心內(nèi)涵。不然為何會選擇這樣一個名稱呢？因此，在討論拓撲材料、半狄拉克費米子之前，我們先簡單解釋一下什么是拓撲。

拓撲（Topology），源于英譯，是一個抽象的數(shù)學概念，描述空間在連續(xù)變形（如拉伸、彎曲，但不涉及撕裂或粘合）下保持不變的特性。我們以“甜甜圈”和“茶杯”為例來直觀理解拓撲的定義：甜甜圈和茶杯可以通過連續(xù)變形相互轉換（如下圖），因為它們都擁有一個孔洞，這是它們的共同拓撲特征。相反，形成孔洞的變化是非平滑連續(xù)的，以至于我們可以通過孔洞的數(shù)目來區(qū)分它們。例如，要把一個球體轉變成甜甜圈，無法通過上述的連續(xù)操作，必然涉及到球體撕裂出一個孔，因此球體和甜甜圈并不等價。

甜甜圈到茶杯的拓撲變換

（圖片來源：Wikimedia Commons）

在物理學中，拓撲概念的應用始于1980年量子霍爾效應的發(fā)現(xiàn)。隨后，科學家們將拓撲理論擴展到三維材料體系，預言并證實了拓撲絕緣體的存在。這類材料的電子行為受拓撲保護，即使存在局部擾動也能保持穩(wěn)定，因此在電子器件中具有重要應用潛力。

在眾多的拓撲材料中，拓撲半金屬（Topological semimetal）是一類兼具金屬和絕緣體特性的材料，其電子能帶結構中存在特殊的交叉點，稱為拓撲節(jié)點。這些節(jié)點承載著狄拉克費米子或外爾費米子等準粒子。需要注意的是，這些“費米子”并非真實的基本粒子，而是電子與晶格相互作用產(chǎn)生的集體激發(fā)行為，類似于半導體物理中的“空穴”概念。

復雜多樣的拓撲半金屬量子態(tài)

（圖片來源：《物理》）

說了這么多，筆者這里要回答上述提出的問題：質(zhì)量可以消失！但這需要特殊的體系來實現(xiàn)。若諸君欲探求其原委，請細心閱讀以下篇章。

（半）狄拉克費米子：質(zhì)量“消失”的關鍵

費米子（Fermion）是構成物質(zhì)的基本粒子之一，遵循費米-狄拉克統(tǒng)計，具有半整數(shù)自旋（如1/2、3/2等）。常見的電子、質(zhì)子、中子都是費米子，它們的集體行為催生了許多有趣的物理現(xiàn)象，如電導性、超導性等。

狄拉克費米子（Dirac fermion）一種特殊的費米子，其能帶色散關系通常呈現(xiàn)線性，即電子的能量E與波矢k成線性關系（E = ?vFk）。這種線性關系表明，狄拉克費米子的能量與其動量的關系也是線性的。學過固體物理的小伙伴很清楚，在描述此類電子運動時，由于受到晶體內(nèi)部周期性勢場的作用，運動的電子已不再是自由電子，但我們可以將其等效為一個在自由空間中運動的電子。這該如何處理呢？物理學家們通過引入有效質(zhì)量的概念，概括晶體內(nèi)部周期性勢場對電子的影響，此時電子的有效質(zhì)量是能量對波矢二階導數(shù)的倒數(shù)。由于色散關系是線性的，并且在能量為零的點對稱，這導致能量在交叉的頂點處不連續(xù)，進而導致二階導數(shù)趨向無窮大，因此有效質(zhì)量為零。實際上，如果我們將電子算符在該頂點（高對稱點）處進行傅里葉展開，可以發(fā)現(xiàn)，這類電子遵循相對論性狄拉克方程。與之相對，拋物線色散關系（E = ?2k2/2m）的電子具有非零有效質(zhì)量，表現(xiàn)出有質(zhì)量費米子的行為。

為方便理解，讓我們以“神奇材料”石墨烯為例來具體說明。石墨烯的能帶結構呈現(xiàn)出獨特的狄拉克錐特征：在錐頂處，價帶和導帶相交，導致該處的電子有效質(zhì)量為零。這一特性帶來了兩個關鍵結果：電子的費米速度高達光速的1/300，遠超傳統(tǒng)半導體；材料展現(xiàn)出超高的載流子遷移率和優(yōu)異的導電性能。這些突破性的特性使石墨烯成為凝聚態(tài)物理和材料科學的研究熱點，吸引了物理學家和化學家的廣泛關注。

石墨烯的狄拉克錐結構

（圖片來源：《Review Modern Physics》）

基于上述認識，半狄拉克費米子的概念就很好理解了。這一概念源于應變石墨烯的理論研究：在石墨烯中，低能激發(fā)通常會表現(xiàn)為無質(zhì)量的狄拉克費米子；而當它受到單軸應變時，電子能帶結構中的狄拉克錐會發(fā)生變形，導致能量色散在一個動量方向k**1上保持線性，而在正交方向k**2上變?yōu)閽佄锞€關系。這種混合的色散關系產(chǎn)生了半狄拉克費米子，它結合了無質(zhì)量狄拉克費米子和有質(zhì)量費米子的特性，其能帶色散關系公式及示意圖如下：

半狄拉克費米子能帶色散圖

（圖片來源：《Physical Review X》）

盡管理論上普遍認為半狄拉克費米子存在于應變石墨烯中，但由于實驗中難以實現(xiàn)所需的應變，直接觀測這些費米子一直頗具挑戰(zhàn)性。然而，隨著拓撲材料研究的深入，科學家在實驗上發(fā)現(xiàn)了不同費米子的回旋能量?ωc與磁場強度B之間存在不同的冪律依賴關系，即朗道能級躍遷冪律，這一現(xiàn)象如下圖所示。

常規(guī)費米子（黑線）、狄拉克費米子（橙線）和半狄拉克費米子（紫線）的回旋能量與磁場的關系

（圖片來源：《Physical Review X》）

半狄拉克費米子的實驗發(fā)現(xiàn)

基于此背景，美國哥倫比亞大學物理系的Dmitri N. Basov教授及其團隊選擇一種典型的拓撲半金屬體系——ZrSiS（鋯硅硫）作為研究對象，并揭示了半狄拉克費米子的實驗證據(jù)。

ZrSiS單晶及其費米表面和節(jié)點線結構

（圖片來源：《Applied Physics Letters》和《Physical Review X》）

科學家利用磁光光譜學技術（一種測量光與材料中磁場相互作用的技術），研究團隊取得了三項重要進展：在實驗觀測上，首次在固態(tài)材料中直接證實半狄拉克費米子的存在；在理論驗證上，通過第一性原理計算，建立了節(jié)點線與半狄拉克能譜的對應關系；在模型構建上，發(fā)展出四帶緊束縛模型，成功重現(xiàn)材料中的各類節(jié)點特征。

ZrSiS中費米子朗道能級躍遷冪律

（圖片來源：《Physical Review X》）

這一發(fā)現(xiàn)無疑是凝聚態(tài)物理領域的一個重要里程碑。它不僅首次在固態(tài)體系中直接提供了半狄拉克費米子的實驗證據(jù)，而且為探索由節(jié)點線交叉點產(chǎn)生的復雜拓撲結構和相關效應搭建了理想平臺。

半狄拉克費米子的獨特性質(zhì)不僅挑戰(zhàn)了我們對質(zhì)量和費米子的傳統(tǒng)認知，還推動了物理學和材料科學的前沿研究。雖然這些發(fā)現(xiàn)目前可能與我們的日常生活還有些距離，但它們無疑為我們提供了探索量子材料世界的新工具和新視角，同時也為量子計算（機）的應用帶來了希望。

參考文獻:

1.Shao Y., Moon S., Rudenko A. N., et al. Semi-Dirac fermions in a topological metal[J]. Physical Review X, 2024, 14(4): 041057.

2.馮硝, 徐勇, 何珂, 薛其坤. 拓撲量子材料簡介[J]. 物理, 2022, 51(9): 624.

3.Lv Y. Y., Zhang B. B., Li X., et al. Extremely large and significantly anisotropic magnetoresistance in ZrSiS single crystals[J]. Applied Physics Letters, 2016, 108(24): 244101.