最近，鄰居家小孩報(bào)了個(gè)小提琴班，在家練習(xí)的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)傳來(lái)一陣陣的鋸木頭聲，有時(shí)甚至像尖叫雞的聲音。我家小孩今年也剛開(kāi)始學(xué)古箏，雖然有時(shí)候跟不上旋律，但似乎聲音本身并不難聽(tīng)。為什么同樣是初學(xué)者，會(huì)有這么明顯的區(qū)別呢？難道是我對(duì)自家娃有濾鏡嗎？

01、是噪音還是動(dòng)人的聲音？關(guān)鍵看泛音

大家應(yīng)該都知道，聲音來(lái)自于物體的振動(dòng)。比如下圖中的音叉，只有讓它振動(dòng)才能發(fā)出聲音。音叉的振動(dòng)會(huì)帶動(dòng)附近空氣的振動(dòng)，從而在空氣中擴(kuò)散開(kāi)來(lái)，當(dāng)擴(kuò)散到人耳時(shí)就被聽(tīng)到了。這就像在平靜的水面扔了一顆石頭，然后水的波紋往外擴(kuò)散開(kāi)來(lái)一樣。

音叉的振動(dòng)圖源：攝圖網(wǎng)

所以，聲音可以用波來(lái)表示，聲波振動(dòng)幅度的大小和振動(dòng)的快慢決定了不同的聲音。振幅（A0）越大，代表著聲音響度越高，也就是聲音越大。周期（T）越短，表示振動(dòng)越快，頻率越高，所以音調(diào)就越高，聲音就越尖。

聲波圖源：作者供圖

理想的聲波，用音調(diào)和響度就可以完全表征。然而，現(xiàn)實(shí)中的聲音要復(fù)雜得多，可以看成是無(wú)數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單聲波疊加而成的。在這些疊加的聲音里，有一類(lèi)特殊的聲音，它們能讓人賞心悅目，這就是樂(lè)音。

復(fù)雜聲波由簡(jiǎn)單聲波疊加而成圖源：博客

樂(lè)音同樣有音調(diào)和響度，但它還有第三個(gè)特征：音色，主要由泛音決定。樂(lè)音并非只有一種頻率，它同樣是多種頻率的疊加。與普通聲音不同，樂(lè)音疊加的頻率有一定的規(guī)律：是基頻（波動(dòng)或振動(dòng)的最低頻率）的整數(shù)倍[1]，也就是滿(mǎn)足畢達(dá)哥拉斯規(guī)律[2]。而除基頻外，疊加頻率的聲音都是泛音。

泛音圖源：sohu

我們可以輕易分辨出不同人講話(huà)，分辨出不同樂(lè)器的發(fā)音，靠的就是泛音的不同。同一個(gè)旋律，不同樂(lè)器組合發(fā)聲，不同的泛音會(huì)讓這段旋律更加豐富。

02、為什么初學(xué)者可以讓古箏發(fā)出美妙聲音？

對(duì)于一根給定的琴弦，存在著無(wú)數(shù)種不同的振動(dòng)形式，每一種都對(duì)應(yīng)了一個(gè)固有頻率[3]。最低的那個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的就是基頻，其余都是泛音。這里的固有頻率都是自由振動(dòng)下的頻率，即外力撥動(dòng)琴弦之后迅速消失，琴弦在這個(gè)外力的作用下產(chǎn)生振動(dòng)，這種固有頻率下的振動(dòng)發(fā)音就是撥弦。當(dāng)琴弦的材質(zhì)（密度）、尺寸（弦長(zhǎng)與粗細(xì)）、張力確定后，這根琴弦的基頻也就確定了。因此，不管你會(huì)不會(huì)彈古箏，撥動(dòng)琴弦后，琴弦的發(fā)音都是一樣的，聽(tīng)起來(lái)都很美妙。

古箏彈久后，需要重新調(diào)音，使琴弦變得緊繃，也就是改變了琴弦的張力，從而改變固有頻率圖源：作者供圖

值得一提的是，不同樂(lè)器的琴弦，彈奏同一首旋律，其基頻必定是相同的。盡管不同樂(lè)器的琴弦有長(zhǎng)有短、有粗有細(xì)、有尼龍有金屬絲，但是通過(guò)基頻公式，總可以設(shè)計(jì)出同一個(gè)基頻。唯一的區(qū)別就在于之前說(shuō)的音色，不同的泛音疊加后聽(tīng)起來(lái)就不一樣了（有的疊加得多，有的疊加得少）。

03、為什么初學(xué)者拉小提琴會(huì)跟鋸木頭一樣？

拉弦作用下的琴弦振動(dòng)與撥弦作用下的琴弦振動(dòng)完全不同。拉弦作用下的琴弦振動(dòng)是在拉弓的持續(xù)作用下產(chǎn)生的受迫振動(dòng)（外力持續(xù)作用下的振動(dòng)）。更加嚴(yán)格地說(shuō)，拉弦下的琴弦振動(dòng)是一種自激振動(dòng)。琴弦從拉弓處獲得能量，在接觸位置產(chǎn)生交變力，從而產(chǎn)生振動(dòng)，這種振動(dòng)根源來(lái)自琴弦自身，所以是自激振動(dòng)。大家洗碗的時(shí)候也能感受到這種振動(dòng)——潔凈濕潤(rùn)的指腹摩擦過(guò)碗沿，能夠感受到指腹傳來(lái)的振動(dòng)，這有點(diǎn)類(lèi)似于古代的黑魔法——魚(yú)洗盆。

魚(yú)洗盆的自激振動(dòng)圖源：sohu

外力作用于琴弦方式的不同，也會(huì)引起了琴弦振動(dòng)形態(tài)的不同。撥弦的自由振動(dòng)，琴弦呈現(xiàn)出標(biāo)準(zhǔn)正弦波的形態(tài)。

撥弦的自由振動(dòng)是正弦波圖源：SOOGIF

而拉弓鋸弦引起的琴弦振動(dòng)卻呈現(xiàn)出不規(guī)則的形態(tài)，并且能夠明顯看出波的傳遞——從拉弓位置向遠(yuǎn)端傳遞。

拉弦的自激振動(dòng)是V波圖源：大美科學(xué)

這種特殊的波形，最早是亥姆霍茲發(fā)現(xiàn)的[4]。拉弓過(guò)程中，琴弦接觸點(diǎn)被弓打動(dòng)產(chǎn)生位移，這種位移隨時(shí)間呈現(xiàn)鋸齒狀，于是振動(dòng)產(chǎn)生了。整根琴弦，在這個(gè)起始位移振動(dòng)的帶領(lǐng)下，振動(dòng)起來(lái)，并且向遠(yuǎn)端擴(kuò)散出去。

亥姆霍茲運(yùn)動(dòng)圖源：參考文獻(xiàn)[4]

為何會(huì)形成上圖這種特殊的V形波呢？其實(shí)，也很容易理解。拉弓鋸弦的時(shí)候，琴弦由于弓的作用在持續(xù)高頻振動(dòng)。波是會(huì)擴(kuò)散的，在接觸位置初始就是一個(gè)V（被弓拉出來(lái)的形狀），所以這個(gè)波往外擴(kuò)散時(shí)，仍然基本保持著初始姿勢(shì)。但隨著擴(kuò)散的進(jìn)行，在遠(yuǎn)端時(shí)，V形的尖角其實(shí)已經(jīng)不那么尖了。

V波的傳遞圖源：中科院物理所

初始時(shí)刻，弓向上運(yùn)動(dòng)（如下圖），在摩擦力的作用下帶動(dòng)琴弦運(yùn)動(dòng)。剛開(kāi)始時(shí)，琴弦位移較小，產(chǎn)生的回彈力也小，不足以抵抗摩擦力，此時(shí)兩者之間是靜摩擦。隨著位移的增大，回彈力變大，把琴弦往回拉動(dòng)，此時(shí)兩者產(chǎn)生滑動(dòng)，是滑動(dòng)摩擦。靜摩擦與動(dòng)摩擦的摩擦系數(shù)是不同的，拉弓鋸弦的過(guò)程是動(dòng)靜摩擦不斷相互變化的過(guò)程，這是個(gè)典型的摩擦力突變的非線(xiàn)性過(guò)程。

動(dòng)靜摩擦相互轉(zhuǎn)化圖源：作者供圖

同一根弦，對(duì)于拉弦來(lái)說(shuō)，優(yōu)美的聲音與弓的速度、弓的下壓力，以及拉弓的位置密切相關(guān)。研究表明[4]：弓速增加，聲音會(huì)變大；弓壓增加，聲音也會(huì)變大；距離琴碼增加，聲音略微減小。一個(gè)熟練的小提琴家，完全掌握這3個(gè)參數(shù)的運(yùn)用及變化，才能創(chuàng)造美妙的音樂(lè)。但是，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，很難根據(jù)旋律的變化控制這3個(gè)參數(shù)的變化。單從音量來(lái)說(shuō)，很可能因?yàn)樘?、太用力，就比較大了。

另外，琴弦的基頻與張力密切相關(guān)，用力過(guò)猛增加了琴弦的張力，提升了基頻，再疊加上其它頻率的不規(guī)則泛音，簡(jiǎn)直就會(huì)像尖叫雞一樣。所以，想要學(xué)好小提琴，除了長(zhǎng)時(shí)間練習(xí)，抽空還得學(xué)學(xué)力學(xué)，知道其中的原理，可以更加熟練地拉弓鋸弦。

參考文獻(xiàn)

[1] Young, Freedman, University Physics with Modern Physics, 14th edition, Pearson, 2016.

[2] 劉延柱, 漫畫(huà)音樂(lè)中的力學(xué), 力學(xué)與實(shí)踐, 2011, 33(3): 91-94.

[3] 王一鳴等, 琴弦在點(diǎn)驅(qū)動(dòng)力作用下受迫振動(dòng)的研究, 大學(xué)物理, 2022, 41(5): 9-12, 62.

[4] 張承忠等, 小提琴弓弦系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)及振動(dòng)機(jī)理研究, 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2025, 28(3): 359-365.

作者：王永健，南京農(nóng)業(yè)大學(xué)副教授，江蘇省力學(xué)學(xué)會(huì)科普工作委員會(huì)副秘書(shū)長(zhǎng)，江蘇省首席科技傳播專(zhuān)家

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