1742年，哥德巴赫(C.Goldbach,1690一1764)提出了一個(gè)假設(shè)，每一個(gè)大于2的偶數(shù)是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。4但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數(shù)學(xué)家歐拉幫忙證明，但是一直到去世，歐拉也無法證明。1

因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，原初猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。（n＞5：當(dāng)n為偶數(shù)，n=2+(n-2)，n-2也是偶數(shù)，可以分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和；當(dāng)n為奇數(shù)，n=3+(n-3)，n-3也是偶數(shù)，可以分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和）歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。常見的猜想陳述為歐拉的版本。把命題“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過b個(gè)的數(shù)之和”記作“a+b”。1966年陳景潤證明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和”。

常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，亦稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。

從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出：3任一大于7的奇數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和的猜想。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對的。2013年5月，巴黎高等師范學(xué)院研究員哈洛德·賀歐夫各特發(fā)表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。

猜想提出

1742年，哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數(shù)學(xué)家歐拉幫忙證明，然而一直到去世，歐拉也無法證明。

因現(xiàn)今數(shù)學(xué)界已經(jīng)不使用“1也是素?cái)?shù)”這個(gè)約定，哥德巴赫猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。（n＞5：當(dāng)n為偶數(shù)，n=2+(n-2)，n-2也是偶數(shù)，可以分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和；當(dāng)n為奇數(shù)，n=3+(n-3)，n-3也是偶數(shù)，可以分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和）。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過a的個(gè)數(shù)與另一個(gè)素因子不超過b的個(gè)數(shù)之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和"。

從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出：任何一個(gè)大于7的奇數(shù)都能被表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和。后者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會(huì)是對的。2013年5月，巴黎高等師范學(xué)院研究員哈洛德·賀歐夫各特發(fā)表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。

研究途徑

研究偶數(shù)的哥德巴赫猜想的四個(gè)途徑。這四個(gè)途徑分別是：殆素?cái)?shù)，例外集合，小變量的三素?cái)?shù)定理以及哥德巴赫問題。

殆素?cái)?shù)

殆素?cái)?shù)就是素因子個(gè)數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù)，雖然不能證明N是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，但足以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)殆素?cái)?shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)都不太多，譬如說素因子個(gè)數(shù)不超過10。用“a+b”來表示如下命題：每個(gè)大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個(gè)數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進(jìn)展都是用所謂的篩法得到的。

“a + b”問題的推進(jìn)

1920年，挪威的布朗證明了“9 + 9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7 + 7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5 + 5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4 + 4”。

1956年，中國的王元證明了“3 + 4”。稍后證明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+ c”，其中c是一很大的自然數(shù)。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1 + 5”， 中國的王元證明了“1 + 4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1 + 3 ”。

1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。

例外集合

在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)。x之前所有例外偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個(gè)例外偶數(shù)，那就是2，即只有2使得猜想是錯(cuò)的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價(jià)于E(x)永遠(yuǎn)等于1。當(dāng)然，還不能證明E(x)=1；但是能夠證明E(x)遠(yuǎn)比x小。在x前面的偶數(shù)個(gè)數(shù)大概是x/2；如果當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數(shù)成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素?cái)?shù)定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時(shí)出現(xiàn)了四個(gè)證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。

業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實(shí)際上他們就是“證明”了例外偶數(shù)是零密度。這個(gè)結(jié)論華羅庚早在60年前就已真正證明出來。

三素?cái)?shù)定理

我們可以把這個(gè)問題反過來思考：如果偶數(shù)的哥德巴赫猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確。已知奇數(shù)N可以表成三個(gè)素?cái)?shù)之和，假如又能證明這三個(gè)素?cái)?shù)中有一個(gè)非常小，譬如說第一個(gè)素?cái)?shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想。這個(gè)思想促使潘承洞先生在1959年，25歲時(shí)，研究有一個(gè)小素變數(shù)的三素?cái)?shù)定理。這個(gè)小素變數(shù)不超過N的θ次方。我們的目標(biāo)是要證明θ可以取0，即這個(gè)小素變數(shù)有界，從而推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來的很長一段時(shí)間內(nèi)，這方面的工作一直沒有進(jìn)展，直到1995年展?jié)淌诎雅死蠋煹亩ɡ硗七M(jìn)到7/120。這個(gè)數(shù)已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0。

幾乎哥德巴赫問題

1953年，林尼克發(fā)表了一篇長達(dá)70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個(gè)固定的非負(fù)整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫成兩個(gè)素?cái)?shù)與k個(gè)2的方冪之和。這個(gè)定理，看起來好像丑化了哥德巴赫猜想，實(shí)際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個(gè)2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個(gè)非常稀疏的集合；事實(shí)上，對任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個(gè)數(shù)不會(huì)超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數(shù)集合中找到一個(gè)非常稀疏的子集，每次從這個(gè)稀疏子集里面拿一個(gè)元素貼到這兩個(gè)素?cái)?shù)的表達(dá)式中去，這個(gè)表達(dá)式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數(shù)值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現(xiàn)，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數(shù)值，此后四十多年間，人們還是不知道一個(gè)多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個(gè)k應(yīng)該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個(gè)可容許值后來被不斷改進(jìn)。其中有兩個(gè)結(jié)果必須提到，即李紅澤、王天澤獨(dú)立地得到k=2000。最好的結(jié)果k=13是英國數(shù)學(xué)家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數(shù)學(xué)家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個(gè)很大的突破。

研究歷史

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數(shù)學(xué)家。1936～1938年，他赴英留學(xué)，師從哈代研究數(shù)論，并開始研究哥德巴赫猜想，驗(yàn)證了對于幾乎所有的偶數(shù)猜想。

1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數(shù)學(xué)研究所組織數(shù)論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題。參加討論班的學(xué)生，例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當(dāng)好的成績。

1956年，王元證明了“3+4”；同年，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿·維諾格拉朵夫證明了“3+3”；1957年，王元又證明了“2+3”；潘承洞于1962年證明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1+4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進(jìn)后，證明了“1+2”，即他證明了任何一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)或?yàn)樗財(cái)?shù)，或?yàn)閮蓚€(gè)素?cái)?shù)的乘積，被稱為“陳氏定理”。2