“現(xiàn)實(shí)生活中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)隨處可見(jiàn)，網(wǎng)絡(luò)韌性是表征網(wǎng)絡(luò)抵抗干擾或破壞的能力，韌性研究是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)，那么復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的韌性提升是否符合邊際效應(yīng)遞減規(guī)律呢？”

01

什么是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

真實(shí)系統(tǒng)通過(guò)高度抽象得到的具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)和特性的網(wǎng)絡(luò)被稱為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。如圖1所示，現(xiàn)實(shí)生活中各種各樣的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如互聯(lián)網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、交通運(yùn)輸網(wǎng)、電力網(wǎng)絡(luò)等。此外，許多常見(jiàn)的社會(huì)系統(tǒng)如人際社會(huì)關(guān)系、學(xué)術(shù)合作關(guān)系等也可以被抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究和分析。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與我們的日常生活密切相關(guān)，如在信息的傳播、流行病的傳播和阻斷、配電網(wǎng)重構(gòu)等方面，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都提供了極有價(jià)值的參考模型和分析工具。

圖1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)示例網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)是指在不考慮節(jié)點(diǎn)位置和邊具體形態(tài)的情況下所表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。舉個(gè)例子：- 在人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)個(gè)體抽象為節(jié)點(diǎn)，而他們之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系可以抽象為節(jié)點(diǎn)之間的邊，如朋友關(guān)系、親戚關(guān)系、同事關(guān)系等等，這些節(jié)點(diǎn)和邊的組合構(gòu)成了一個(gè)復(fù)雜的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以幫助我們理解人們之間的聯(lián)系以及信息的流動(dòng)。

在電力網(wǎng)絡(luò)中，根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景的不同，節(jié)點(diǎn)可以表示母線、變電站、微電網(wǎng)等，而邊則表示這些節(jié)點(diǎn)之間的連接和傳輸電力的關(guān)系，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以幫助我們理解電力系統(tǒng)的分布、負(fù)載平衡以及電力供應(yīng)的可靠性，通過(guò)分析電力網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，我們可以優(yōu)化電力系統(tǒng)的規(guī)劃和運(yùn)行方案，從而提高電力供應(yīng)的質(zhì)量和效率。其他類型網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也有類似的作用。

因此，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溲芯吭诶斫鈴?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)作和性質(zhì)方面起著重要的作用。通過(guò)深入理解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，我們可以更好地把握現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)作規(guī)律，并為設(shè)計(jì)和優(yōu)化這些系統(tǒng)提供科學(xué)有效的指導(dǎo)。

02

網(wǎng)絡(luò)韌性評(píng)估指標(biāo)

由于網(wǎng)絡(luò)故障的必然性，網(wǎng)絡(luò)的韌性分析成為一個(gè)需要關(guān)注的問(wèn)題。韌性強(qiáng)調(diào)的是網(wǎng)絡(luò)抵御風(fēng)險(xiǎn)能力和故障恢復(fù)能力，一個(gè)韌性較高的網(wǎng)絡(luò)可以經(jīng)受住一定程度的破壞或攻擊，而不會(huì)完全崩潰或失效。在進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)韌性分析時(shí)，通常關(guān)注網(wǎng)絡(luò)中孤立節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)的概率，因?yàn)檫@代表網(wǎng)絡(luò)崩潰或失效。因此，網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的徑向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)代表著該網(wǎng)絡(luò)最脆弱的可能狀態(tài)（斷裂任何一條邊將導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)成為非連通圖），該脆弱狀態(tài)對(duì)應(yīng)的拓?fù)淇捎缮蓸?shù)表示。

圖2 4節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)說(shuō)明示例

圖2描繪了2種不同的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，每個(gè)網(wǎng)絡(luò)均由4個(gè)節(jié)點(diǎn)和4條邊組成。圖1(a)表示的網(wǎng)絡(luò)只能生成3棵生成樹(shù)，一旦邊1-3出現(xiàn)故障，網(wǎng)絡(luò)就會(huì)出現(xiàn)失控節(jié)點(diǎn)。相比之下，圖1(b)代表的系統(tǒng)可以生成4棵生成樹(shù)，并且在任意一條邊出現(xiàn)故障的情況下網(wǎng)絡(luò)均能保持連通。因此，圖1(b)所示網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的韌性，從而具有更好的生存能力。

根據(jù)上述分析，網(wǎng)絡(luò)的韌性可通過(guò)其拓?fù)渌苌傻纳蓸?shù)數(shù)量來(lái)量化。同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)所對(duì)應(yīng)的生成樹(shù)數(shù)量可基于矩陣樹(shù)定理高效計(jì)算：

其中，是有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)向圖，式(1)表示計(jì)算基爾霍夫矩陣、、分別代表度矩陣及鄰接矩陣；式(2)表示圖所能生成的生成樹(shù)數(shù)量可通過(guò)計(jì)算基爾霍夫矩陣的任意n-1階主子式的行列式值得到。的值越大，網(wǎng)絡(luò)的韌性越強(qiáng)，反之亦然。

已有學(xué)者從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)角度出發(fā)提出了多種節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)估指標(biāo)，包括節(jié)點(diǎn)的度、介數(shù)中心性、接近中心性、特征向量中心性等，但以上方法都是從節(jié)點(diǎn)層面提出的評(píng)估指標(biāo)，存在一定的片面性和局限性，基于生成樹(shù)數(shù)量的網(wǎng)絡(luò)韌性評(píng)估指標(biāo)則是從網(wǎng)絡(luò)層面提出的整體性能指標(biāo)。

03

網(wǎng)絡(luò)韌性評(píng)估優(yōu)化

在實(shí)際應(yīng)用中，增加網(wǎng)絡(luò)連接會(huì)帶來(lái)成本和復(fù)雜度增加等問(wèn)題，因此考慮增加一定數(shù)量的網(wǎng)絡(luò)連接，即考慮在原有網(wǎng)絡(luò)中增加條邊，使得網(wǎng)絡(luò)韌性最大，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)韌性優(yōu)化模型。
網(wǎng)絡(luò)韌性優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為：

網(wǎng)絡(luò)韌性優(yōu)化模型的約束條件為：

式(4)表示新增連接關(guān)系數(shù)量約束，其中和表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)，為0-1決策變量，表示和之間是否需要新建連接關(guān)系，表示新增的連接關(guān)系數(shù)量，為決策者設(shè)置的參數(shù)，即投資上限。

04

算例分析

以電力網(wǎng)絡(luò)為例，選取IEEE 16節(jié)點(diǎn)、IEEE 33節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)測(cè)試算例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。即在給定初始徑向拓?fù)涞幕A(chǔ)上，添加K條線路，使得網(wǎng)絡(luò)韌性最大。分別使用啟發(fā)式策略求解，包括逐步遞減策略、最大步長(zhǎng)策略、最大步長(zhǎng)-度策略、貪婪策略和微調(diào)-貪婪策略。

1) 生成樹(shù)數(shù)量變化趨勢(shì)分析：為了驗(yàn)證可添加線路條數(shù)與生成樹(shù)數(shù)量之間的關(guān)系，在IEEE 16節(jié)點(diǎn)、IEEE 33節(jié)點(diǎn)測(cè)試算例中，將可添加線路數(shù)量K設(shè)置為1到10，分別進(jìn)行10組實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。在兩組實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，通過(guò)不同策略求解得到的韌性最大的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和隨機(jī)生成的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（隨機(jī)生成的韌性最強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的拓?fù)洌?，均表現(xiàn)出新增線路數(shù)量線性增加時(shí)，網(wǎng)絡(luò)所能形成的生成樹(shù)數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)。

圖3 生成樹(shù)數(shù)量變化趨勢(shì)

2）增長(zhǎng)因子分析：增長(zhǎng)因子定義為相鄰兩次計(jì)算生成的生成樹(shù)數(shù)量之比，用于定量計(jì)算給定拓?fù)湓谠黾右粭l線路后帶來(lái)的網(wǎng)絡(luò)韌性增長(zhǎng)率。圖4顯示了增長(zhǎng)因子在2個(gè)測(cè)試系統(tǒng)下的變化。隨著新增線路數(shù)量的增加，增長(zhǎng)因子逐漸降低，初期降低速率較快后期變化速率較慢。增長(zhǎng)因子下降速度明顯減慢的點(diǎn)稱之為knee點(diǎn)，表明在該點(diǎn)以后通過(guò)添加線路來(lái)增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)韌性的效果不再顯著。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)于每個(gè)測(cè)試系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)韌性增長(zhǎng)率呈現(xiàn)出明顯的邊際遞減效應(yīng)。

圖4顯示了增長(zhǎng)因子在2個(gè)測(cè)試系統(tǒng)下的變化

05

結(jié)論

我們圍繞復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋬?yōu)化，定義了基于生成樹(shù)數(shù)量的網(wǎng)絡(luò)韌性評(píng)估指標(biāo)，并構(gòu)建了網(wǎng)絡(luò)韌性的優(yōu)化模型，不失一般性，以配電網(wǎng)重構(gòu)為例，研究發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)邊數(shù)量線性遞增的情況下，網(wǎng)絡(luò)韌性評(píng)估指標(biāo)呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，但增長(zhǎng)率表現(xiàn)出明顯的邊際遞減效應(yīng)，揭示出在以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)的資源優(yōu)化配置中亟需考慮投資與性能的平衡點(diǎn)，在滿足性能需求的前提下，最優(yōu)化投資。