伽羅瓦理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要發(fā)端之一。當(dāng)天才少年用自創(chuàng)理論解決了代數(shù)方程的懸案，人們才逐漸意識(shí)到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)本身所隱含的對(duì)稱性和抽象關(guān)系竟然具有如此強(qiáng)大的威力。通過后繼者對(duì)高階抽象和邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系的不斷探索，如今數(shù)學(xué)大廈不僅縱向高聳入云而且橫向相互支撐順暢貫通。本文將帶讀者領(lǐng)略那發(fā)生在190年前的靈光閃現(xiàn)……

撰文 | 張和持

偶爾，當(dāng)我被袁隆平院士喂得太飽的時(shí)候，會(huì)無聊地去想：若現(xiàn)代的知識(shí)穿越回古代，那將造成多么可怕的影響。那有可能是助諸葛亮北伐成功的100名火箭飛行兵，也可能是令趙國(guó)取勝長(zhǎng)平之戰(zhàn)的空降方便面。但要是真能穿越的話，希望不會(huì)把數(shù)學(xué)家送過去——等著他們的，可能是尼爾斯·阿貝爾和埃瓦里斯特·伽羅瓦的命運(yùn)——他們二人的工作過于超前，以至于他們英年早逝十多年，后人才從塵封的論文中發(fā)現(xiàn)那驚人的價(jià)值。

évariste Galois

在那個(gè)年代，數(shù)學(xué)家的工作主要還是圍繞數(shù)字的。即使使用變量的代數(shù)，也是為了得到具體的數(shù)值結(jié)果?？上攵?，即便是高斯那樣的數(shù)學(xué)泰斗，面對(duì)伽羅瓦的滿篇抽象符號(hào)，也打回了他的論文。據(jù)說伽羅瓦死前遭人暗算，不得不參加一場(chǎng)必死的決斗。生命和學(xué)術(shù)生涯即將在含苞中零落，絕望中的他奮筆疾書，在最后的時(shí)刻整理了自己的手稿，像海賊王一樣把寶物留給了新的時(shí)代。

Niels Henrik Abel

今天的我們，處處享受著他們的成果。計(jì)算機(jī)離不開代數(shù)，物理化學(xué)也離不開群論。或許在肅然起敬之余，你會(huì)望而卻步。其實(shí)大可不必，今番我們便來還原一個(gè)簡(jiǎn)潔又優(yōu)美的伽羅瓦理論。

伽羅瓦和阿貝爾想解決的問題看起來很簡(jiǎn)單。小學(xué)我們學(xué)過一元一次方程

直接移項(xiàng)就可以得到

后來我們學(xué)了一元二次方程

湊平方法也可以容易地得到

繼續(xù)，一元三次方程呢？是否也能這么容易解出來呢？

十六世紀(jì)的數(shù)學(xué)家尼科洛·塔爾塔利亞首先得到了通用的公式，我們就把它列出來看看有多復(fù)雜

對(duì)于方程

有三個(gè)根：

人類的智慧的確可怕。不久之后，四次方程的公式也被人們發(fā)現(xiàn)了。四次方程的解如此復(fù)雜，以至于一頁紙都不一定能寫的下，這不禁讓人懷疑，數(shù)學(xué)是否成為了繁瑣和不便的代名詞。

這也鞭策著那些相信努力就會(huì)收獲的數(shù)學(xué)家，找出五次方程的解而揚(yáng)名立萬?？墒橇钊速M(fèi)解的是，無論做多么精巧的代換，無論嘗試怎樣復(fù)雜的分解，總有一些方程死活解不出來。到了拉格朗日這一代，大多數(shù)人已經(jīng)確信，五次方程是無法以現(xiàn)有方法解出來的了。他們發(fā)現(xiàn)，五次方程與四次，三次，二次方程是如此的不同，以至于之前管用的方法全都失效了。不過直到阿貝爾和伽羅瓦為止，都沒有人能為這種似是而非的論斷給出清晰又嚴(yán)格的證明。

這就是我們的問題：為什么有理系數(shù)的一元五次方程不能通過有限次的加、減、乘、除、開根號(hào)得到一般解？

比如說方程

很容易求出它的兩個(gè)解是

怎么才能證明擴(kuò)張無法實(shí)現(xiàn)呢？目前我們還沒有什么思路去直接證明，但阿貝爾和伽羅瓦迎難而上。他們不約而同地注意到，方程的根具有奇妙的對(duì)稱性。一般來說，如果一個(gè)圖形具有復(fù)雜的對(duì)稱性，那圖形本身也就較為復(fù)雜。這給了他們啟示：根的對(duì)稱性是否意味著域擴(kuò)張的復(fù)雜性呢？果不其然，這種對(duì)稱性揭示了域擴(kuò)張與群的子群之間優(yōu)美的對(duì)偶，使得我們可以通過研究群的可解性來回答方程解的性質(zhì)。

還是回到之前的方程

另一種將群可視化的方法是凱萊圖

圖片受wikimedia 啟發(fā)

A5的凱萊圖

例如，把紅色線連接的小五邊形看做子群（這是個(gè) 階循環(huán)群），如果它是正規(guī)的，那么從一個(gè)紅色五邊形出發(fā)的所有藍(lán)色線段，都必須進(jìn)入同一個(gè)陪集，也就是最鄰近的另一個(gè)紅色五邊形?？上н@些藍(lán)色線都進(jìn)入了不同的紅色五邊形。

事實(shí)上，這種每個(gè)局部小多邊形都盡量與其他小多邊形連接的結(jié)構(gòu)，會(huì)使整體結(jié)構(gòu)非常穩(wěn)定而堅(jiān)固，對(duì)群除法這種結(jié)構(gòu)拆解工作自然就不夠友好。神奇的是，如果在上圖中的每個(gè)圓圈處放一個(gè)碳原子，它們將組成穩(wěn)定的足球形分子“巴基球”，這個(gè)名字來源于建筑學(xué)家巴克明斯特·富勒，此人建造了世界上最大的足球形建筑物。

富勒的作品

1999年，物理學(xué)家在奧地利的實(shí)驗(yàn)室中向雙縫發(fā)射了“巴基球”的分子束，并觀察到了干涉現(xiàn)象。這使得“巴基球”成為了人類實(shí)驗(yàn)?zāi)苡^測(cè)到雙縫干涉的最大分子。

Buckminsterfullerene

再回到最初的問題。從以上的闡述，應(yīng)該就能理解根式解不存在的原因了：根式的域擴(kuò)張是有局限的。也就是說五次以上的方程其實(shí)并不是“無解”，只是根式擴(kuò)張無法做到。那么是不是就應(yīng)該有別的方法來進(jìn)行域擴(kuò)張呢？答案是肯定的。

注釋

[1] Galois theory for non-mathematicians
[2] Emil Artin, Galois Theory