前段時(shí)間上映的國(guó)產(chǎn)電影《宇宙探索編輯部》，受到了很多觀眾的好評(píng)。電影中，多次出現(xiàn)了螺旋的形狀，比如唐志軍看到視頻錄像中兩道光是螺旋狀的；孫一通把看到的景象用泡泡糖捏成了雙螺旋；唐志軍在洞穴里也看到了壁畫上的螺旋形狀；直到影片最后的特效，也做成了螺旋。

電影《宇宙探索編輯部》海報(bào)

影片的觀點(diǎn)認(rèn)為，螺旋是“宇宙萬(wàn)物運(yùn)行的規(guī)律”，從宇宙中的星系到多種植物的中心，再到生命體的遺傳物質(zhì) DNA，都是螺旋的結(jié)構(gòu)。

回到現(xiàn)實(shí)中，不少東西也是按照“螺旋”的法則生長(zhǎng)和運(yùn)作的。

01

植物中的螺旋

1. 羅馬花椰菜

羅馬花椰菜是由花椰菜和西蘭花雜交培育出的品種，它是分形學(xué)的代表。

它的花球表面由許多螺旋形的小花組成，整個(gè)羅馬花椰菜有將近 300 朵這樣的小花，每朵小花都是小型圓錐體，也是呈螺旋狀緊密排列的。

羅馬花椰菜，圖庫(kù)版權(quán)圖片，不授權(quán)轉(zhuǎn)載

小花以花球中心為對(duì)稱軸螺旋排列，這種圖案是斐波納契數(shù)列（又稱黃金分隔數(shù)列）的天然代表。

斐波納契數(shù)列的前兩項(xiàng)均為“1”，并且從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34……

當(dāng)項(xiàng)數(shù)足夠大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來(lái)越逼近黃金分割比例——0.618，人們?cè)谠S多圖案設(shè)計(jì)上，都會(huì)考慮應(yīng)用斐波納契數(shù)列。

2. 松塔

你可能經(jīng)常在公園里見(jiàn)到掉在地上的松塔，它是一種木質(zhì)的、有鱗的“果子”。

仔細(xì)觀察，你一定會(huì)注意到它們的鱗片螺旋，鱗片可以在潮濕或寒冷時(shí)緊閉，保護(hù)它們的種子。然后在溫度、濕度合適的時(shí)候打開(kāi)，再讓風(fēng)幫助種子傳播。

松果底部螺紋，圖片來(lái)源：Wikipedia

松果的底部螺旋圖案，從兩個(gè)方向細(xì)數(shù)這些螺紋構(gòu)成的數(shù)字都是斐波那契數(shù)字。

如上圖的松塔，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的線條數(shù)是 8，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的線條數(shù)是 13；

除了 8 和 13，旋轉(zhuǎn)的線條數(shù)還有可能是 5 或 21，這些都是斐波那契數(shù)列中存在的數(shù)字；

而像 7、9、10、11、12 等不在斐波那契數(shù)列中的數(shù)字，則不會(huì)出現(xiàn)。是不是很神奇？

3. 多肉植物

在植物學(xué)中，分形被稱為“螺旋葉序”，即植物上的葉子呈螺旋排列。

許多多肉植物的葉子就是這樣緊密地按照螺旋結(jié)構(gòu)卷曲生長(zhǎng)，形成具有黃金分割比例的自相似螺旋——黃金螺旋。

這種排列方式有助于將雨水輸送到植物的核心，而且可以防止頂部葉子遮住底部葉子。

蘆薈的螺旋葉序，圖庫(kù)版權(quán)圖片，不授權(quán)轉(zhuǎn)載

當(dāng)然也有一些不同的觀點(diǎn)。

曾有一位數(shù)學(xué)家提出假設(shè)，他認(rèn)為所有植物，以及我們指紋的螺旋圖案的出現(xiàn)都是為了緩解生長(zhǎng)所受的應(yīng)力作用。例如，在植物中，隨著細(xì)胞在不同方向上的分裂生長(zhǎng)，它們可能會(huì)因?yàn)槭艿较噜徏?xì)胞或組織的約束而經(jīng)歷機(jī)械應(yīng)力，這種應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致組織彎曲和折疊。

02

什么是“分形”

上面提到了那么多次“分形”，分形就是螺旋生長(zhǎng)嗎？

分形是幾何學(xué)中的一個(gè)概念，指的是簡(jiǎn)單的相似圖案在不同維度上不斷重復(fù)，構(gòu)成復(fù)雜的圖形或形狀，這種構(gòu)形在自然界中無(wú)處不在。

早在 1967 年美國(guó)數(shù)學(xué)家本華·曼德博（Benoit B. Mandelbrot）在《科學(xué)》雜志上上發(fā)表的一篇題為《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》的論文。文中指出，像是海岸線這種不規(guī)則圖形，如果選取的測(cè)量尺度不一樣，測(cè)量結(jié)果將相差甚遠(yuǎn)。

如下圖，當(dāng)選擇測(cè)量尺度很大時(shí)，細(xì)小的地方?jīng)]有測(cè)量，得到的值會(huì)比較小。

而用小尺度測(cè)量，得到的結(jié)果會(huì)大得多。用的尺度越小，得到的值將越大。

不同測(cè)量尺測(cè)量英國(guó)海岸線，圖片來(lái)源：Wikipedia

也就是說(shuō)現(xiàn)實(shí)中這種復(fù)雜的不規(guī)則邊界的圖形沒(méi)有準(zhǔn)確的周長(zhǎng)，并且會(huì)隨著測(cè)量尺度的減小它的周長(zhǎng)將趨于無(wú)窮。這便是分形理論的萌芽。

后來(lái)人們認(rèn)為，如果這種不規(guī)則邊界呈現(xiàn)出一種小尺度和大尺度相似的特征，并且無(wú)限細(xì)分下去都存在這種自相似性，那么這種幾何形狀就可以被稱為“分形”。

03

分形并不都是“螺旋的”

其實(shí)，在日常生活中有很多分形的例子，除了開(kāi)篇提到的羅馬花椰菜和松塔，像菠蘿的生長(zhǎng)、冰晶的形成，也遵循分形規(guī)律。

1. 雪花

沒(méi)有兩片雪花是完全相同的，但是它們都有自己的獨(dú)特的分形。

圖庫(kù)版權(quán)圖片，不授權(quán)轉(zhuǎn)載

雪花的分支會(huì)產(chǎn)生自己的側(cè)分支，如果雪花不停的積聚水分并融合，那么雪花可能會(huì)永遠(yuǎn)這樣繼續(xù)下去。

我們生活中見(jiàn)到的雪花實(shí)際上就是經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次迭代形成的。

科赫雪花示意圖，圖片來(lái)源：Wikipedia

這其中最著名的分形圖案被稱為科赫雪花，它源于一個(gè)等邊三角形疊加另一個(gè)等邊三角形，然后再接二連三形成下一個(gè)等邊三角形。

科赫雪花經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次迭代后，它的邊角變得非常崎嶇，這會(huì)使有限面積的雪花蘊(yùn)藏著無(wú)限的周長(zhǎng)。

這也與“海岸線有多長(zhǎng)”的問(wèn)題異曲同工。

2. 樹(shù)枝

對(duì)于植物來(lái)說(shuō)，以分形的規(guī)律生長(zhǎng)，可以讓它們最大限度地暴露在陽(yáng)光下，進(jìn)行良好的光合作用。同時(shí)，也能夠高效地將養(yǎng)分輸送到自身的各個(gè)部位。

樹(shù)木的生長(zhǎng)是自然界中最典型的分形之一。

隨著樹(shù)干的生長(zhǎng)，樹(shù)枝從樹(shù)干上長(zhǎng)出來(lái)，而這些樹(shù)枝本身又會(huì)像樹(shù)干一樣，發(fā)展出自己的枝條。

仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)整棵樹(shù)可以看作“Y”形的重復(fù)。

樹(shù)木分形，圖片來(lái)源：Robert Fathauer

這種分形設(shè)計(jì)，就像多肉植物的螺旋形，幫助樹(shù)木優(yōu)化它們對(duì)陽(yáng)光的照射，并防止頂部樹(shù)枝遮擋較低的樹(shù)枝。

3. 銅晶體

分形幾何在化學(xué)中也很常見(jiàn)，銅晶體正是一個(gè)典型的代表。

銅晶體像樹(shù)枝一樣向四面八方分支，每根分支又是一個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)往下延續(xù)。

銅晶體，圖片拍攝：老貓

正是這樣的不斷分枝，形成固體金屬銅。

由于這種迷幻的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)和獨(dú)特的紅棕色，生活中銅晶體經(jīng)常被當(dāng)作藝術(shù)品。

4. 河流

當(dāng)我們看地圖時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)河流總是呈蜿蜒的“S”形，雖然溪流有時(shí)可以形成一條直線，但隨著它們遇到不同障礙物干擾，很快就會(huì)變得彎曲。

只需一次擾動(dòng)就可以擾亂河流的流動(dòng)路線，使其全線彎曲。

圖庫(kù)版權(quán)圖片，不授權(quán)轉(zhuǎn)載

深入研究這些河流后會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的寬度是非常公式化，一般曲線長(zhǎng)度總是通道寬度的六倍。

這種自相似性正是分形的特征，也是世界各地河流看起來(lái)相似的原因。

5. 泡沫

在自然界中，當(dāng)海浪沖擊或雨滴落下時(shí)出現(xiàn)的氣泡會(huì)產(chǎn)生一種自相似的模式，液體薄膜將各種大小的氣腔隔開(kāi)。

大氣泡旁邊散布著小氣泡，小氣泡旁散布著更小的氣泡。

圖庫(kù)版權(quán)圖片，不授權(quán)轉(zhuǎn)載

我們?cè)诳Х壬?、洗碗槽、浴缸中?jiàn)到的泡沫都是一種分形的現(xiàn)象。

自然界中每一中的分形都有它自己的道理，你在自然界中還見(jiàn)到過(guò)哪些分形的現(xiàn)象？

參考文獻(xiàn)：

[1] "UA Mathematicians Predict Patterns in Fingerprints, Cacti." University of Arizona. 2004.

[2] Peng, Sheng-Lung, Rong-Xia Hao, and Souvik Pal. "Proceedings of First International Conference on Mathematical Modeling and Computational Science." Springer Nature. 2021.

作者：Denovo 科普作者

審核：張磊 北京大學(xué)北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心 研究員

本文封面圖片及文內(nèi)圖片來(lái)自版權(quán)圖庫(kù)

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