在數(shù)學(xué)中，不連續(xù)性是函數(shù)的一種屬性。連續(xù)的函數(shù)是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時(shí)候，輸出的變化也會(huì)隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值的某種微小的變化會(huì)產(chǎn)生輸出值的一個(gè)突然的跳躍，甚至無(wú)法定義，則這個(gè)函數(shù)被稱(chēng)為是不連續(xù)的函數(shù)，或者說(shuō)具有不連續(xù)性1。

定義若是一函數(shù)，定義域和值域都是實(shí)數(shù)，若存在自變量，存在，使得，有

則稱(chēng)為不連續(xù)函數(shù)。換句話(huà)說(shuō)，不論距固定點(diǎn)多近，都有距固定點(diǎn)更近的點(diǎn)使函數(shù)的值偏離固定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值。例如狄利克雷函數(shù)就是一個(gè)處處不連續(xù)函數(shù)。

通過(guò)不連續(xù)函數(shù)的定義來(lái)了解不連續(xù)性是一個(gè)簡(jiǎn)單直觀(guān)的方式。不連續(xù)性也應(yīng)用在各種各樣的領(lǐng)域中，如物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等，在不同領(lǐng)域的概念也不盡相同。尤其是物理學(xué)中的量子力學(xué)，對(duì)不連續(xù)性的本質(zhì)做了很好的詮釋2。

示例量子（quantum）是現(xiàn)代物理的重要概念。最早是M·普朗克在1900年提出的。他假設(shè)黑體輻射中的輻射能量是不連續(xù)的，只能取能量基本單位的整數(shù)倍。后來(lái)的研究表明，不但能量表現(xiàn)出這種不連續(xù)的分離化性質(zhì)，其他物理量諸如角動(dòng)量、自旋、電荷等也都表現(xiàn)出這種不連續(xù)的量子化現(xiàn)象。這同以牛頓力學(xué)為代表的經(jīng)典物理有根本的區(qū)別。量子化現(xiàn)象主要表現(xiàn)在微觀(guān)物理世界。描寫(xiě)微觀(guān)物理世界的物理理論是量子力學(xué)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級(jí)工程師 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所