撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

從前打仗燒錢，如今打仗還燒腦子。

——作者

摘要

21世紀的一個重要特征是，哪怕是笑話也都有科技含量，沒有點兒數(shù)理底子還真捕捉不到笑點。近日寶島退將侯“一發(fā)導彈攔截成功率70%，三發(fā)一起攔截成功率210%”的高論，給這個平淡的夏日添了個超級笑料。然而，導彈攔截不是個簡單的概率計算問題，它還是物理問題和經(jīng)濟問題。借著品味這個笑話，我們不妨好好學習一些加法的基礎知識 ，以及描述飛行物體的物理知識。

1 引 子

笑話年年有，今年更獨特。近些日子，有寶島退休將領侯做電視節(jié)目嘉賓時言道：“一發(fā)導彈攔截的成功率是70%，那我三發(fā)一起攔截，成功率就是210% 嘛，哪有攔不住的！” 有點兒常識的人瞬間捕捉到這是個大笑話，嚇得趕忙捧腹扶眼鏡。這笑話在華人圈一時間熱度飆到42℃。有人直言這位寶島退將的數(shù)學是體育老師教的，結果因為侮辱了體育老師被體育老師給打了。有寶島女嘉賓怒懟，“一發(fā)導彈攔截成功率70%，三發(fā)攔截成功率就是210%，照這么說四杯25℃的水，倒在一起直接就沸騰嘍！”還有人從排列組合的角度，分別給出三發(fā)導彈中與不中八種不同組合的概率。這畫風轉(zhuǎn)換有點兒快，一個笑話竟然還引出一堂數(shù)學課來了。

既然有人關切，筆者也來湊個熱鬧，假裝很不嚴肅地好好討論一下這個問題：“設一發(fā)反導導彈對來襲導彈的攔截成功率為70%，那么，三發(fā)一起攔截的成功率是多少？”

2 概率的數(shù)學初步

首先，alas，這個問題是錯的！對著來襲導彈發(fā)射一發(fā)反導導彈，結果就兩種：擊中或者沒擊中。用數(shù)值表示，就是1或者0，沒有成功率70%的說法。所謂的成功率為70%這種說法，是一種統(tǒng)計語言的描述，而統(tǒng)計是針對大數(shù)而言的。設用某型號導彈攔截某確定型號的來襲導彈，在相同條件下實驗了N次，其中成功了M次，則若N 足夠大，數(shù)值

可認定為該導彈攔截實驗的成功率。因此，正確的說法是用某型號導彈攔截某型號來襲導彈的成功率為多少，而不是用一發(fā)導彈攔截的成功率為多少。那么，實驗次數(shù)

(觀察次數(shù))， 或者用更一般性的術語，統(tǒng)計樣本數(shù)，多大才算足夠大呢？這個得看具體的研究對象了。比如，有一門物理叫統(tǒng)計物理，其涉及對象的樣本數(shù)動輒是10^23量級的；關于我國國民出生時體重的統(tǒng)計，樣本數(shù)是在10億的規(guī)模。至于反導導彈的成功率，要求實驗次數(shù)達100次計算的成功率才是可靠的，這在數(shù)學上不過分吧？但這從物理的角度看卻很過分。用100發(fā)反導導彈做實驗去獲得其成功率數(shù)據(jù)？你問問一般國力的國家買不買得起100發(fā)反導導彈？所以，某型號導彈攔截成功率的說法其實是個不很靠譜的說法。

好吧，退一步說，假設攔截成功率為70% 是個經(jīng)過大數(shù)實驗得到的比較可靠的說法。70%成功率的攔截導彈可讓人不踏實。如果想提高攔截成功率，直覺的做法是多發(fā)幾發(fā)反導導彈，一發(fā)不行兩發(fā)，兩發(fā)不行三發(fā)……這就引出了一個問題，用n發(fā)導彈攔截，攔截成功率是多少？具體到本文關切的問題，攔截成功率為70%的某型導彈，3發(fā)導彈攔截一發(fā)來襲導彈，成功率是多少？

一種算法是，70% + 70% + 70% = 210%。210% > 100%, 結論：“那肯定就攔截成功了嗦！”這當然是個笑話。但是，這個笑話卻引出一個比較嚴肅的話題：“什么樣的（物理）量是（代數(shù)）可加的？” 我們熟悉的長度、面積、體積、質(zhì)量、兜里的鈔票、物體數(shù)目等等是 (代數(shù)) 可加的。比如

3個+5個=8個

3米+5米=8米

3塊錢+5塊錢=8塊錢

3千克+五千克=8千克

就是我們熟悉的加法。但是，但是，千萬不要以為代數(shù)加法簡單。有學過普通物理的朋友會說電荷也是代數(shù)可加的（麥克斯韋的電磁學經(jīng)典會有專門一節(jié)講關于電荷代數(shù)可加性的認識過程），3庫倫+5庫倫=8庫倫。然而，這里有個大陷阱。電荷跟質(zhì)量不同的地方在于它是極性的（polar），電荷分正負。-3庫倫+3庫倫=0 庫倫。一個區(qū)域內(nèi)總電荷為 0 庫倫是沒有電荷嗎？你要這么想就na?ve 了。一個區(qū)域內(nèi)總電荷為零，同一個區(qū)域內(nèi)沒有電荷，是完全不同的兩種物理體系。就是錢財這個量，一旦被擴展到可取負值的情形，其加法也是可疑的。比如，某甲月收入3800元，某乙月進賬24833800元，欠賬24830000元，24833800+(-24830000)=3800，但前者是普通高收入階層，而后者屬于精英土壕階層。

熱力學會將物理量按照性質(zhì)嚴格地加以區(qū)分。粒子數(shù) N、體積 V、表面積A等是廣延量。兩個體系湊一起，相應的這些量可以代數(shù)相加，其分別對應的化學勢μ、壓強p、表面能σ則是強度量。強度量不能簡單相加。

前述寶島女嘉賓怒懟，“……照這么說，四杯25℃的水倒在一起直接就沸騰嘍！” 這說明大家都知道溫度是不能簡單相加的。在熱力學里，溫度T是個強度量，它對應的廣延量就是不懂的人特別愿意使用的概念：熵 (S，entropy)。其實，溫度是個統(tǒng)計量，很少有體系有明確的溫度，但熵總是有的，且可以簡單相加。

本文關注概率問題，概率不能簡單相加！一般教科書里處理的簡單概率問題，會用到與二項式展開 (p+q)^n 相關的楊輝三角 (Pascal triangle) 方面的知識。讓我們一起回顧一下。二項式展開 (p+q)^n 的前幾項如下：

注意右面各行的系數(shù)。再硬性(!)引入(p+q)^0=1 (這說明為什么自然數(shù)要從0開始)， 就構成了大家熟悉的楊輝三角 (圖1) 。

圖1. 楊輝三角 (Pascal triangle)

設想 p 是某件事發(fā)生 (成功) 的概率，q 是某件事未發(fā)生 (不成功) 的概率，p+q=1?，F(xiàn)在神奇的事情發(fā)生了。不管 n 是幾，(p+q)n=1都成立。這就是說，楊輝三角的每一行恰恰就是這類事件被重復考察n次時，相應的各種可能對應的概率。比如，對某事件實驗三次，則表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 的右側分別就是發(fā)生3，2，1，0次的概率；若對某事件實驗四次，則表達式 (p+q)^4=p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4 的右側分別就是發(fā)生4，3，2，1，0次的概率。是不是很簡單？

于是，關于“一發(fā)導彈攔截成功率為70%，三發(fā)導彈攔截的成功率是多少” 這事兒，有人會計算如下。參照表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 ，則三發(fā)皆中的概率為70%×70%×70%=34.3%，兩發(fā)中一發(fā)未中的概率為3×70%×70%×30%=18.9%；一發(fā)中兩發(fā)未中的概率為3×70%×30%×30%=44.1%。 三者相加，故攔截成功的概率為97.3%?；蛘?， 攔截不成功的概率為 30%×30%×30%=2.7% ，則攔截成功的概率為100% -2.7%=97.3% 。簡單吧？

3 導彈攔截攔截是個物理問題和經(jīng)濟問題

問題要是那么簡單就好嘍。

學過概率論的人都知道，概率論是一門坑很多的學科，要不天下有開賭場致富的非法路徑呢。概率論不是簡單的拿個算式去算個數(shù)，要考慮問題的物理圖像，物理圖像，物理圖像！

先說說中學物理里的常見的接燈泡問題（偽物理問題）。設有一種燈泡，接上電會亮的概率為 p=70% {按說就不該出廠}，問三個燈泡串聯(lián)和并聯(lián)的情形下（圖2），教室有亮光的概率各是多少？如果是串聯(lián)，有一個不亮就把整個電路斷了，所以教室被照明的概率是表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 右側的第一項，為34.3%；如果是并聯(lián)，但凡有一個燈泡是亮的就行，所以教室被照明的概率是表達式 (p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 前三項之和，也就是 1-q^3 ，為97.3%。

圖2. 三燈泡并聯(lián)電路

三個燈泡并聯(lián)的問題， 與使用大炮轟擊一個目標的問題相同：三發(fā)炮彈齊發(fā)，但凡有一發(fā)轟擊到目標，即算達到目標。目標被摧毀的概率可以按照前述算法計算。這里計算正確性的保證來自三發(fā)炮彈的獨立性。然而，關于三發(fā)導彈攔截一發(fā)來襲導彈成功率的計算，看似與三個燈泡并聯(lián)和三發(fā)炮彈齊發(fā)的問題相同，但實際上卻有很大的差別。

設若敵方有一發(fā)導彈來襲，且來襲導彈在飛行途中，這時的反導大概就是所謂的中段反導（圖3）。若時間還允許，攔截方式大概是發(fā)射一發(fā)，如果成功，事情到此為止；如果不成功，趕緊補發(fā)一發(fā)。為什么不三發(fā)齊發(fā)呢？因為反導導彈太珍貴了，糟蹋不起。再者，導彈都是在高速運行中的，三發(fā)齊發(fā)又不能做到同時擊中來襲導彈，則若一發(fā)擊中來襲導彈（這是我們的追求和目標），其它兩發(fā)不是白浪費了。這又不是炮彈轟擊敵陣地，一發(fā)擊中，補中兩發(fā)算是加強打擊效果。當然了，實際測試反導導彈性能時，雙發(fā)齊發(fā)倒是真有的。三發(fā)齊發(fā)不是原則上不可以，而是實在沒那么豪氣。

圖3. 反導實驗

如果敵方來襲導彈已經(jīng)接近目標，這就是末段反導了。這時候的攔截務必要做到萬無一失，特別是為了保護高價值目標，為此可以不惜代價。這個階段的攔截手段一般使用近防炮。近防炮要形成一道動態(tài)的彈幕，讓一段時間內(nèi)的來襲目標，哪怕是一發(fā)炮彈，都不能通過。為此，近防炮的關鍵指標是射速，一般在每分鐘6000發(fā)以上。我國新型船艦上使用的1130近防炮，射速超過每分鐘一萬發(fā)以上，射擊距離在3公里左右（圖4）。一分鐘一萬多發(fā)，速射十分鐘就是十多萬發(fā)。十萬發(fā)速射炮炮彈，你估計一下得多少錢？真打不起啊。

圖4. 艦載近防炮射擊中

4 來自反導的開悟

圖5. 導彈的變軌

首先，不管是導彈還是反導導彈，速度是硬道理。飛得夠快，才能追得上對手或者免于被對手追上。這就是我們的導彈追求高速的道理。據(jù)公開信息，我國東風17的速度約為10馬赫，東風41的速度可達25馬赫，這速度是杠杠的。然而，導彈的高性能不光在于速度，還在于高機動性。導彈在突襲或者反導的時候要能靈活地變軌，這要根據(jù)牛頓第二定律，dp/dt=F，其中力F由推進劑提供，可見動量是相關的物理參數(shù)。注意，對于速度在10 馬赫量級的導彈，其不僅沒有戰(zhàn)斗部，在進入大氣層后它還會因為高速飛行被逐步燒蝕掉，所以導彈的質(zhì)量很關鍵。發(fā)射時質(zhì)量要足夠大，等到達目標時我們希望其還能剩個1公斤左右。接近目標后，導彈的毀傷能力則由動能表征。大家不妨計算一下一個1公斤的導彈頭(就是一塊金屬鎢)，速度為25馬赫時，動能是多少？這樣大家對它的威力就心里有數(shù)啦！

5 多余的話

寶島那位退將侯的概率論水平，有點可笑，但并不可怕。筆者遇到稍微深一層面的概率問題，比如條件概率，就大概率會立馬出錯。真正可怕的是，寶島退將侯這種水平的人是怎么當上將軍的，是怎么能上電視節(jié)目給別人分析問題的？21世紀，國家發(fā)展問題首先是個科學問題，軍事問題也首先是個科學問題，對此，我們要端正態(tài)度。

參考文獻

曹則賢，軍事物理學， 上?？萍冀逃霭嫔?(2022).

出品：科普中國

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